yakebi.rar_迭代精度_高斯迭代资源-CSDN文库

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23 浏览量 2022-09-20 17:07:15 上传评论收藏 3KB RAR 举报

在数值分析领域，高斯赛德尔迭代（Gauss-Seidel Iteration）和雅克比迭代（Jacobi Iteration）是两种常见的线性方程组求解方法，它们属于迭代法的一种。这两种方法常用于处理大型稀疏矩阵问题，因为它们在计算上相对高效，尤其在矩阵对角线元素占主导的情况下。 **雅克比迭代法**：雅克比迭代法是由数学家卡尔·雅克比提出的一种迭代解法。它适用于求解形式为Ax=b的线性方程组，其中A是一个n×n的矩阵，x和b分别是n维向量。雅克比迭代法的基本思想是将原方程组重写为分块形式，然后逐个更新每个未知数。具体步骤如下： 1. 将矩阵A按对角线分割为三个子矩阵：D（对角元素），L（下三角元素），U（上三角元素）。即A=D-L-U。 2. 用矩阵D的逆来表示迭代公式：x(k+1) = D^(-1)(b - (L+U)x(k))。 3. 从一个初始猜测值x(0)开始，通过迭代公式不断更新x的值，直到满足停止准则（如达到一定的精度或者迭代次数）。 **高斯赛德尔迭代法**：高斯赛德尔迭代法是雅克比迭代法的改进版，由德国数学家卡尔·高斯和荷兰数学家路易斯·赛德尔共同提出。它与雅克比迭代的主要区别在于，每次迭代时会使用当前迭代的最新结果，而不是前一次迭代的结果。其迭代公式如下： 1. 同样将矩阵A按对角线分割，得到D、L、U。 2. 高斯赛德尔迭代公式：x_i(k+1) = (1/D_i)(b_i - ∑(j=1 to i-1) A_ij x_j(k+1) - ∑(j=i+1 to n) A_ij x_j(k))，其中i从1到n遍历，x_i(k+1)是第i个未知数在第k+1次迭代的值。 3. 同样，从初始猜测值开始迭代，直到满足停止准则。 **迭代精度**：在实际应用中，我们需要设置一个合适的迭代精度标准来判断何时停止迭代。通常，我们会监控残差的大小或解的变化来决定是否继续迭代。例如，当连续两次迭代间的解变化小于某个阈值ε，或者残差的绝对值小于ε时，认为已经达到足够的精度，可以停止迭代。 **适用性与收敛性**：雅克比迭代和高斯赛德尔迭代的收敛性取决于系数矩阵A。如果A是对称正定的，那么这两种方法通常都能收敛。然而，对于非对称矩阵，高斯赛德尔迭代通常比雅克比迭代有更快的收敛速度。此外，如果矩阵的条件数过大，即使迭代法可能收敛，也需要更多的迭代次数，这可能导致计算效率降低。 "yakebi.rar_迭代精度_高斯迭代"这个压缩包文件很可能包含了关于如何实现这两种迭代法的代码示例或教程，以及如何根据误差和精度控制迭代次数的相关资料。通过学习这些内容，你可以深入了解这两种迭代法的工作原理，以及如何在实际问题中有效地应用它们。

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yakebi

bin

yakebi.class 3KB

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yakebi.java 2KB

.project 382B

.classpath 232B

public class yakebi { /** * @param args */ public static void main(String[] args) { // TODO Auto-generated method stub float[][] a = { { 10, -2, -2 }, { -2, 10, -1 }, { -1, -2, 3 } }; float[] b = { 1, (float) 0.5, 1 }; float[] x = new float[3]; float[] x0 = new float[3]; float[] x1 = new float[3]; float[] x2 = new float[3]; yakebi C=new yakebi(); System.out.println("方程组矩阵为："); C.outPut2D(a); System.out.println("方程组的右边为："); C.output1D(b); System.out.println("方程组的初始解为："); C.output1D(x); System.out.println("雅克比方法迭代后结果为："); C.Jacobi(a, b, x, x0); System.out.println("方程组的解为："); C.output1D(x); System.out.println("高斯-赛德尔方法迭代后结果为："); C.GS(a, b, x1, x2); System.out.println("方程组的解为："); C.output1D(x1); } public void outPut2D(float a[][]){//用于输出方程组的系数矩阵 for(int i=0;i<3;i++){ for(int j=0;j<3;j++) System.out.print(" "+a[i][j]); System.out.println(); } } public void output1D(float b[]){//用于输出方程组的右边，方程组的初始解，和迭代后的结果 for(int i=0;i<3;i++) System.out.println(" "+b[i]); } public void Jacobi(float a[][], float b[], float x[], float x0[]) {//雅克比迭代方法 int count=0; do { for (int i = 0; i < 3; i++) x0[i] = x[i]; x[0] = (b[0] - a[0][1] * x0[1] - a[0][2] * x0[2])/10;//a[1][1]=10 x[1] = (b[1] - a[1][0] * x0[0] - a[1][2] * x0[2])/10;//a[2][2]=10 x[2] = (b[2] - a[2][0] * x0[0] - a[2][1] * x0[1])/3;//a[3][3]=3 count++; } while (fanshu(x, x0)); System.out.println("迭代的次数为："+count); } public void GS(float a[][], float b[], float x[], float x0[]) {//高斯赛德尔迭代 int count=0; do { for (int i = 0; i < 3; i++) x0[i] = x[i]; x[0] = (b[0] - a[0][1] * x[1] - a[0][2] * x[2])/10;//a[1][1]=10 x[1] = (b[1] - a[1][0] * x[0] - a[1][2] * x[2])/10;//a[2][2]=10 x[2] = (b[2] - a[2][0] * x[0] - a[2][1] * x[1])/3;//a[3][3]=3 count++; } while (fanshu(x, x0)); System.out.println("迭代的次数为："+count); } public boolean fanshu(float x[], float x0[]) {//误差||r||1-范数 float[] s = new float[3]; float w; for (int i = 0; i < 3; i++) s[i] = x[i] - x0[i]; w = s[0]; for (int j = 0; j < 2; j++) { if (Math.abs(s[j]) <= Math.abs(s[j + 1])) w = Math.abs(s[j + 1]);//当误差的1-范数<精度0.00000000001迭代结束 } if (w < 0.00000000001) return false; else return true; } }