RAPPORT DE PROJET
Modélisation de signaux boursiers
CARILLIER – GOETZ - XU
Séquence 7
1
Table des matières
Introduction.............................................................................................................................................2
I) Mouvement brownien .........................................................................................................................3
1) Le processus de Wiener.............................................................................................................3
a) Les processus markoviens ....................................................................................................3
b) Le processus de Wiener général ...........................................................................................3
c) Le processus d’Itô ..................................................................................................................3
2) Estimations des différents paramètres ....................................................................................4
a) Estimation du drift.................................................................................................................4
b) Estimation du paramètre de variance ..................................................................................4
c) Estimation de la rentabilité...................................................................................................4
d) Estimation de la volatilité......................................................................................................5
3) Résultats expérimentaux sur le processus de Wiener et le processus d’Itô ...................................5
a) Récupération des cours de bourse .............................................................................................5
b) Prise en main du modèle.............................................................................................................5
c) Utilisation du processus d’Itô................................................................................................7
d) Utilisation d’outils de l’analyse financière .........................................................................11
4) Ouverture et critique du modèle ............................................................................................13
II) Mouvement brownien fractionnaire.................................................................................................14
1) Introduction aux mouvements browniens fractionnaires (résumé de l‘article : Benoit
Mandelbrot et la modélisation mathématique des risques financiers) ............................................14
2) Explications purement mathématiques ....................................................................................15
a) Définition du mouvement brownien fractionnaire ...........................................................15
b) Coefficient de Hurst...............................................................................................................15
3) Résultats expérimentaux.........................................................................................................17
a) Utilisation de la fonction matlab « wfbmesti »...................................................................17
b) Considérations concernant la modélisation ..........................................................................17
c) Modélisation obtenue ..........................................................................................................18
4) Remarques et ouverture..........................................................................................................21
Conclusion .............................................................................................................................................24
Bibliographie .........................................................................................................................................25
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Introduction
Dans l’optique de la modélisation et de la réalisation d’une place boursière virtuelle, nous nous
sommes intéressés à la modélisation des signaux boursiers. De nombreux ouvrages de finances et de
mathématiques financières proposent des solutions pour répondre au problème de la modélisation
de signaux boursiers. Nous en avons retenu deux. Premièrement, la modélisation des cours de
bourse par un mouvement brownien standard en utilisant un processus de Wiener qui pourra être
utilisé dans le modèle de Black-Scholes. Deuxièmement, l’utilisation des fractales pour créer un
mouvement brownien fractionnaire qui nous servira à modéliser le cours du CAC40 sur les dernières
années.
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I) Mouvement brownien
1) Le processus de Wiener
a) Les processus markoviens
Nous allons présenter un modèle basé sur un processus stochastique d’évolution du cours
des actions en temps continu et à espace d’états continu.
On rappelle tout d’abord la propriété de Markov : la distribution de probabilité du cours du
titre à une date future ne dépend pas de la trajectoire spécifique suivie par le prix dans le passé. Un
processus qui suit cette propriété est dit processus markovien. Considérons un processus markovien
dont la variation sur une année suit une loi normale centrée réduite notée φ(0,1). Grâce aux
propriétés des processus markoviens, on peut montrer que la variation sur une durée T suit φ(0,
𝑇
).
Plus particulièrement, dans le cas qui va nous intéresser par la suite, on considère une très courte
durée δt. Le processus suit alors φ(0,
δt
). On note que l’incertitude est proportionnelle à la racine
carré du temps.
Le processus de Wiener standard est un type particulier de processus markovien avec des
accroissements espérés nuls et une variance de cas accroissements égale à 1 par an. Il est souvent
utilisé pour décrire le mouvement brownien. Donc si z suit un processus de Wiener standard, on peut
écrire :
𝛿𝑧
=
𝜀.
𝛿𝑡
,
𝜀
suit une loi normale φ(0,1).
b) Le processus de Wiener général
On peut également définir un processus de Wiener plus complexe appelé processus de
Wiener général. La variation d’une variable x suivant un processus de Wiener général est donnée
par :
𝛿𝑥
=
𝑎.𝛿𝑡
+
𝑏.𝜀.
𝛿𝑡
où
𝜀
suit une loi normale φ(0,1) et a et b sont des constantes. Jusqu’à
présent, on considérait une espérance des accroissements nulle ce qui n’est plus le cas avec la
première partie de l’équation précédente. La constante « a » est appelée le drift c’est-à-dire
l’espérance de variation du processus par unité de temps. Le terme
𝑏.𝜀.
𝛿𝑡
peut être vu comme
l’ajout de bruit à la trajectoire de x. Ainsi l’écart-type, en comparaison à un processus de Wiener
standard est multiplié par b. Alors b² représente la variance par unité de temps.
c) Le processus d’Itô
La principale critique du modèle précédent réside dans la constance des paramètres a et b
(ou b²). On peut alors définir un processus stochastique plus général en considérant que ces deux
paramètres dépendant du temps t et de la variable x. On obtient alors :
𝛿𝑥
=
𝑎(𝑥,𝑡).𝛿𝑡
+
𝑏(𝑥,𝑡).𝜀.
𝛿𝑡
On suppose quand même que a(x,t) et b(x,t) sont constants sur l’intervalle de temps [t,t+δt].
Dans la suite, nous allons utiliser ce processus pour modéliser les cours d’actions.
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2) Estimations des différents paramètres
a) Estimation du drift
On a défini le drift comme l’espérance de variations par unité de temps. On propose de
l’estimer par la somme des k dernières variations de x par unité de temps. On remarque à cette
occasion que le temps sera décompté en année comme dans toutes les modélisations boursières.
Dans une année boursière, on compte 254 jours, cela correspond aux jours d’ouverture de la bourse.
𝑎
(
𝑥,𝑘
)
=
254
𝑘
―
1
𝑖
=
0
𝑥
(
𝑘
―
𝑖
)
―
𝑥(𝑘
―
𝑖
―
1)
𝑘
ou
𝑎
(
𝑥,𝑘
)
=
254
𝑘
―
1
𝑖
=
1
𝑥
(
𝑘
―
𝑖
)
―
𝑥(𝑘
―
𝑖
―
1)
𝑘
―
1
Les deux estimateurs correspondent soit à de la poursuite (1
er
cas) soit à de la prévision (2
ème
cas).
b) Estimation du paramètre de variance
On va définir l’estimateur du paramètre de variance comme l’estimateur usuel de la variance
statistique.
𝑏
(
𝑥,𝑡
)
=
254
𝑘
―
1
𝑖
=
0
( 𝑥
(
𝑘
―
𝑖
)
―
𝑥
(
𝑘
)
)
2
𝑘
ou
𝑏
(
𝑥,𝑡
)
=
254
𝑘
―
1
𝑖
=
1
( 𝑥
(
𝑘
―
𝑖
)
―
𝑥
(
𝑘
)
)
2
𝑘
―
1
Avec
𝑥
(
𝑘
)
la moyenne des valeurs de x sur les k derniers points.
On retrouve encore les deux selon que l’on souhaite faire de la prévision ou de la poursuite.
Pour obtenir des modèles plus satisfaisants, on va utiliser par la suite deux autres estimateurs de
paramètres : la rentabilité et la volatilité.
c) Estimation de la rentabilité
Pour estimer la rentabilité, on va s’appuyer sur l’estimateur de du drift que l’on a déjà mis en
place. Cependant, on va ajouter un paramètre liant le cours de clôture au temps k-1 et le cours
d’ouverture au temps k afin de prévoir le cours de clôture au temps k.
𝑢
(
𝑥,𝑘
)
=
254
𝑘
―
1
𝑖
=
1
𝑥
(
𝑘
―
𝑖
)
―
𝑥
(
𝑘
―
𝑖
―
1
)
𝑘
―
1
+
254
∗
(𝑜
(
𝑘
)
―
𝑥
(
𝑘
―
1
)
)
Cette estimation permet d’inclure l’impact de l’évolution des autres marchés pendant que le marché
étudié est clos.
