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第第第四四四章章章数数数据据据处处处理理理

1. 插值与拟合

插值问题 :已知函数f(x)的离散值,用已知函数g(x)逼近f(x)。

g(x)称为插值函数，可以是代数多项式，三角多项式或有理函数等。

按插值范围分为内插:在已知数据点范围之内插入数据

外插:在已知数据点的范围之外插入数据。

按插值方法分为

• 多项式插值

二点可连直线，三点可定抛物线，通常n + 1个数据点可定不高于n次的代

数多项式，使其代表的曲线通过这n + 1个数据点。

插值多项式有：拉格朗日多项式，牛顿多项式，埃尔米特多项式。

• 分段插值

将插值区间分成若干小区间，在每个小区间插入一个多项式。

• 样条插值

要求分段插值生成的曲线在相邻小区间的连接处也光滑。

• 曲线拟合

不要求插值函数通过数据点，只要求插值函数所代表的曲线按照某个判别

标准（如最小二乘法, 要求

i=0

− g(x

)]

为最小）能最好地接近数据点。

2. MATLAB指令的用法

2.1 计算插值的指令

指令

interp1 一维插值

interp1q 快速一维插值

interp2 二维插值

interp3 三维插值指令

interpn N维插值指令

选项

nearest 线性最近项插值

linear 线性插值

spline 三次样条插值

cubic 立方插值

x=0:10; y=sin(x); %原始数据

xi=0:.15:10; %插值点

yi1=interp1(x,y,xi,’nearest’);

yi2=interp1(x,y,xi,’linear’);

yi3=interp1(x,y,xi,’spline’);

yi4=interp1(x,y,xi,’cubic’);

subplot(2,2,1)

plot(xi,yi1,xi,yi1,’r.’)

subplot(2,2,2)

plot(xi,yi2,xi,yi2,’r.’)

subplot(2,2,3)

plot(xi,yi3,xi,yi3,’r.’)

subplot(2,2,4)

plot(xi,yi4,xi,yi4,’r.’)

本例中，以正弦函数的10个

值作为原始数据（小圆圈表

示）。再用四种方法算出41个

插值点并画曲线

2.2 曲线的多项式拟合

polyﬁt (X,Y,N ) 对数据作最小二乘法的多项式拟合

X，Y是样点数据，N是拟合多项式的最高幂次，结果是按降幂排列的系

数。

polyval 计算多项式的值

t=0:0.5:5;

s=1*t+0.2.*t.*t; %给定二次曲线

s1=[0.5 -0.18 -0.01 0.13 0.1 ...

0.31 -0.22 -0.31 0.2 0.4 -0.14];

ss=s+s1;%设定误差值

P=polyfit(t,ss,2); %二次曲线拟合

y=polyval(P,t); %计算拟合函数的值

plot(t,y,t,ss,’r*’)

3. 插值与拟合的计算方法

3.1 拉格朗日插值法

过两点(x

, y

), (x

, y

)直线为

y =

x − x

− x

x − x

− x

将方程改写为

(x) = l

(x)y

+ l

(x)y

其中

(x) = y, l

x − x

− x

, l

x − x

− x

(x), l

(x)显然是满足下列条件的一次函数

) = 1, l

) = 0

) = 0, l

) = 1

(x), l

(x)分别是对应节点x

, x

的线性插值基函数.这表示的插值函数可以视

为两个插值基函数的线性组合,其组合系数是对应点上的函数值y

, y

.这种形

式的插值称为拉格朗日插值.

类似的方法可以求出二次插值函数.令

(x) = l

(x)y

+ l

(x)y

+ l

(x)y

(x), l

(x) 分别是节点y

, y

的插值基函数, 它们应该是不超过二次的

多项式, 且满足条件

) = 1, l

) = 0, l

) = 0,

) = 0, l

) = 1, l

) = 0,

) = 0, l

) = 1.

也就是

) = δ

其中

(

1, i = k

0, i 6= k

基函数可以这样构造,对于l

(x), 因为x

, x

是其零点, 所以l

(x) 应该含有因

子(x − x

)(x − x

), 又因为l

(x) 是二次多项式, 故可写成

(x) = A(x

− x

)(x

− x

)

式中A为待定的系数, 再由条件l

) = 1 定出

A =

− x

)(x

− x

)

于是

(x) =

(x − x

)(x − x

)

− x

)(x

− x

)

同样可求得

(x) =

(x − x

)(x − x

)

− x

)(x

− x

)

(x) =

(x − x

)(x − x

)

− x

)(x

− x

)

最后得到

(x) =

(x − x

)(x − x

)

− x

)(x

− x

)

(x − x

)(x − x

)

− x

)(x

− x

)

(x − x

)(x − x

)

− x

)(x

− x

)

显然，L

(x) 是一个不超过二次的多项式，且满足插值条件

) = y

, L

) = y

, L

) = y

一般来说，给定函数y = f(x)在n + 1个节点的函数值，可以求出一个次数不

超过n次的插值多项式，

(x) =

k=0

(x)y

(x) =

(x − x

) ···(x − x

k−1

)(x − x

k+1

) ···(x − x

)

− x

) ···(x

− x

k−1

)(x

− x

k+1

) ···(x

− x

)

且满足插值条件

) = δ

, (i, k = 0, 1, 2, ··· , n)

3.2 拟合

设在曲线拟合中，按插值函数值ϕ(x

)与n个原始数据点y

偏差为

= ϕ(x

) − y

(i = 0, 1, 2, ...n)

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