微分方程数值解实验
实验报告要给出问题、计算格式、计算结果以及结论分析等，附录要列出用 C
语言编写的程序
一、问题
利用改进的欧拉格式及四阶经典龙格—库塔格式求解下面的常微分方程初
值问题：
1
, (1, 2]
| 1
x
dy y
x
dx x
y
=
ì
= - Î
ï
í
ï
=
î
并给出在各个节点上与精确解的误差。步长分别取
0.1h =
及
0.05h =
。
二、计算格式
（1）改进的欧拉格式，经推导如下：
𝑦
𝑛
+
1
=
𝑦
𝑛
―
ℎ
𝑦
𝑛
𝑥
𝑛
𝑦
𝑛
―
1
=
𝑦
𝑛
―
ℎ
2
(
𝑦
𝑛
𝑥
𝑛
+
𝑦
𝑛
+
1
𝑥
𝑛
+
1
)
（2）四阶经典龙格—库塔格式，经推导如下：
y
𝑛
+
1
=
𝑦
𝑛
+
ℎ
6
(
𝐾
1
+
2𝐾
2
+
2𝐾
3
+
𝐾
4
)
𝐾
1
=
―
𝑦
𝑛
𝑥
𝑛
𝐾
2
=
―
𝑦
𝑛
+
ℎ
2
𝐾
1
𝑥
𝑛
+
ℎ
2
𝐾
1
=
―
𝑦
𝑛
+
ℎ
2
𝐾
2
𝑥
𝑛
+
ℎ
2
𝐾
1
=
―
𝑦
𝑛
+
ℎ
𝐾
3
𝑥
𝑛
+
ℎ
三、计算结果
真解为：y=
1
𝑥
运行结果如图：
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