《矩阵分析与应用》第二次仿真
基本要求：
(1) 任选以下一个题目，完成仿真实验和报告，报告和仿真程序需一起打包上传网络学堂。
(2) 按 正式论 文 格 式 撰 写 仿 真 报 告 (Title/Author/Abstract/Index terms/Introduction/Model
(Problem formulation)/Algorithm/Numerical results/Conclusion/ Reference)，报告应能够充
分说明该问题的背景以及几种算法的特点，结合自己的理解给出相应结论。对具有创新
性的想法和内容，将给予一定的加分。仿真实验程序应配有详细的注释以保证可读性。
(3) 大作业应独立完成。有困难，可以与同学讨论，也可以联系助教。但杜绝抄袭，一经发
现，成绩以零分计算，且以作弊论处。
(4) 作业提交的截止日期为 12 月 14 日（周五），（按要求，无故延迟提交只能按 80%计分）。
题1：基于ESPRIT方法的频率估计
ESPRIT（estimation signal parameter via rotational invariance techniques）方法是一种有效
的谐波估计方法。该方法最早由 Roy 等人于 1989 年提出，现已成为现代信号处理中一种重
要的方法，并且得到了广泛的应用。本题使用 ESPRIT 方法估计谐波的频率，同时就算法的
性能进行一些讨论。
假设假设观测信号
xn
是由两个谐波信号叠加高斯白噪声所得，即：
1 1 2 2
cos cosx n s n s n v n
其中
1
s
、
2
s
是两个信号的幅度，而
1
、
2
是两个信号的频率，噪声
vn
是方差为
2
的零
均值高斯白噪声。假设
12
0.2 , 0.4
，且 共有 100 个观测信号样值，完成以下的要
求。
(1) 假设
2
12
10, 0.1, 1ss
，用 ESPRIT 和 TLS-ESPRIT 方法估计原信号的频率；
(2) 假设
12
ss
，求在不同信噪比下 ESPRIT 和 TLS-ESPRIT 算法估计频率的均方误差（100
次求平均）；
(3) 假设
2
12
10, 1ss
，比较观测信号的长度
10,15, 20, 30, 40, 60,80,100n
取
不同值时 ESPRIT 和 TLS-ESPRIT 算法估计频率的均方误差（100 次求平均）；
(4) 如果叠加的噪声是一个高斯色噪声，即
+n n nxAΦs Rv
，其中
nv
是方差为
2
的零均值高斯白噪声，而
R
是一个可逆矩阵。此时使用经典的 ESPRIT 会得到什么
结果？如果估计出色噪声的自相相关矩阵
R
，此时可以怎么做？假设估计的自相相关
矩阵
R
与真实的自相关矩阵有一个偏差，即
2T
n
R RR R
，其中
n
R
是一个随机矩
阵，其元素是方差为
2
1
的独立零均值高斯变量。当
2
1
取不同值时，求在色噪声条件下
改进的 ESPRIT 和 TLS-ESPRIT 算法估计频率的均方误差（100 次求平均）。
