例 3.3.6 (传染病模型)长期以来,建立传染病模型来描述传染病的传染过程,分析受感染
人数变化规律,预报传染病的高潮的到来等等,一直是各国专家和官员关注的课题,这里我
们介绍几个传染病模型及分析.
模型 1(SI 模型)假设条件为:(1)人群分为易感者(Susceptible)和已感者(Infictive)
两类。时刻 t 这两类人在总人数中所占的比例分别记为
)(ts
和
)(ty
.(2)每个病人每天有
效接触的平均人数是常数
�
,
�
称日接触率.当病人与健康者有效接触时,使健康者受感染
变为病人.
根据假设,每人每天可使
)(ts
�
个健康者变为病人,因为病人数为
)(tNy
,所以每天共有
)()( tytNs
�
个健康者变为病人,既有:
Nsy
dt
dy
N
�
�
(3.3.6)
又因为
1)()( �� tyts
(3.3.7)
初始时刻(t=0)病人比例为
b
(常数),则
�
�
�
�
�
�
��
by
yy
dt
dy
)0(
)1(
�
(3.3.8)
在命令窗口中输入命令:
syms a b
f=dsolve('Dy=a*y*(1-y)','y(0)=b','t')
输出结果
f =1/(1-exp(-a*t)*(-1+b)/b)
即微分方程(3)的解是
t
e
b
ty
�
)1
1
(1
1
)(
��
�
(3.3.9)
当
1.0,09.0 ��
�
b
时,分别在坐标系
oty
中作出
)(ty
图形(图 3.6),在坐标系
yoy
�
中
作出
)1( yyy ��
�
�
图形(图 3.7),其程序为:
a=0.1;b=0.09;
h=dsolve('Dy=a*y*(1-y)','y(0)=b','t'); %其中的 a 表示(3)中的
�
f=subs(h)
>>f =1/(1+91/9*exp(-1/10*t))
ezplot(f,[0,60])
grid on
figure(2)
fplot('0.1*y*(1-y)',[0,1])
grid on
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