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39 浏览量 2022-09-21 06:07:53 上传评论收藏 1KB RAR 举报

DFP（Davidon-Fletcher-Powell）算法是一种在数值优化领域广泛应用的有限差分法，主要用于求解非线性最小化问题。这个算法是基于拟牛顿法的框架，通过迭代更新来逼近Hessian矩阵（二阶导数矩阵），从而找到函数的局部最小值。在FORTRAN编程语言中，DFP算法常被用于科学计算和工程应用。 DFP算法的核心思想是构造一个近似Hessian矩阵Bk，它在每次迭代中通过以下公式更新： Bk+1 = Bk + (yky - ykBk^-1y) / (yk'y) * (I - yk(Bk^-1)^Tyk) 其中，yk是函数在k步迭代时的梯度变化，即yk = gk+1 - gk；yk'是yk的转置；Bk^-1是Bk的逆；I是单位矩阵。这些变量都是基于当前迭代点和前一次迭代点的梯度计算得出的。在FORTRAN实现DFP算法时，需要注意以下几个关键步骤： 1. 初始化：选择一个初始点x0，计算目标函数在x0处的梯度g0，并初始化B0为一个对称正定矩阵，通常可以选择单位矩阵。 2. 求解搜索方向：利用当前Bk求解线性方程组Bk d_k = -g_k，得到下降方向d_k。 3. 确定步长α：通过线性搜索方法（如Armijo规则或Goldstein规则）确定合适的步长，以确保目标函数的足够下降。 4. 更新迭代点：更新迭代点xk+1 = xk + αd_k。 5. 计算新梯度：计算新点xk+1的梯度gk+1。 6. 更新Hessian近似：根据DFP公式更新Bk。 7. 重复步骤2到6，直到满足停止条件（如达到最大迭代次数、梯度小于某个阈值或函数值变化小于某个阈值）。 FORTRAN作为一种古老的科学计算语言，具有高效的数值计算能力和良好的向量化特性，非常适合实现这类数值优化算法。在实际应用中，用户可能需要考虑内存管理和计算效率，以及如何处理可能遇到的奇异或病态Hessian近似矩阵。在提供的"DFP算法.txt"文件中，很可能包含了DFP算法的具体FORTRAN代码实现，包括数据结构定义、函数调用、主程序逻辑等。通过阅读和理解这段代码，可以深入学习DFP算法的细节及其在FORTRAN中的实现方式。同时，通过与其他优化算法比较，比如BFGS算法，可以更好地理解各种拟牛顿方法的异同，从而在实际问题中选择最合适的求解策略。

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DFP算法.txt 5KB

!!!本程序适用于求解形如f(x)=1/2*x'Ax+bx+c二次函数的稳定点； !!!输入函数信息，输出函数的稳定点及迭代次数； !!!iter整型变量，存放迭代次数； !!!x为n维变量，初始值由用户输入；gradt实型变量，存放函数梯度; !!!dir实型变量，存放搜索方向； program main real,dimension(:),allocatable::x,gradt,dir,b ,s,y,p ,gradt1,x1 real,dimension(:,:),allocatable::hessin ,H ,G ,U real::x0,tol integer::n ,iter,i,j print*,'请输入变量的维数' read*,n allocate(x(n),gradt(n),dir(n),b(n),s(n),y(n),p(n),gradt1(n),x1(n)) allocate(hessin(n,n),H(n,n),G(n,n),U(n,n)) print*,'请输入初始向量x' read*,x print*,'请输入hessin矩阵' read*,hessin print*,'请输入矩阵b' read*,b iter=0 tol=0.000001 do i=1,n do j=1,n if (i==j)then H(i,j)=1 else H(i,j)=0 endif enddo enddo 100 gradt=matmul(hessin,x)+b if(sqrt(dot_product(gradt,gradt))<tol)then !print*,'极小值点为：',x !print*,'迭代次数:',iter goto 101 endif dir=matmul(H,gradt) x0=golden(x,dir,hessin,b) x1=x+x0*dir gradt1=matmul(hessin,x1)+b s=x1-x y=gradt1-gradt call vectorm(s,G) U=G call vectorm(matmul(H,y),G) H=H+1/dot_product(s,y)*U-1/dot_product(matmul(H,y),y)*G x=x1 iter=iter+1 if(iter>=10*n)then print*,"out" goto 101 endif print*,"第",iter,"次运行结果为", "方向为",dir,"步长",x0 print*,x,"f(x)=",f(x,hessin,b) goto 100 contains !!!子程序，返回函数值 function f(x,A,b) result(f_result) real,dimension(:),intent(in)::x,b real,dimension(:,:),intent(in)::A real::f_result f_result=0.5*dot_product(matmul(x,A),x)+dot_product(b,x) end function f !!!子程序，矩阵与向量相乘 subroutine vectorm(p,G) real,dimension(:),intent(in)::p real,dimension(:,:),intent(out)::G n=size(p) do i=1,n do j=1,n G(i,j)=p(i)*p(j) enddo enddo end subroutine !!!精确线搜索0.618法子程序，返回步长； function golden(x,d,A,b) result(golden_n) real::golden_n real::x0 real,dimension(:),intent(in)::x,d real,dimension(:),intent(in)::b real,dimension(:,:),intent(in)::A real::x1,x2,a1,b1,f0,f1,f2,r,tol,dx parameter(r=0.618) tol=0.0001 dx=0.1 x0=1 x1=x0+dx f0=f(x+x0*d,A,b) f1=f(x+x1*d,A,b) if(f0<f1)then 4 dx=dx+dx x2=x0-dx f2=f(x+x2*d,A,b) if(f2<f0)then x1=x0 x0=x2 f1=f0 f0=f2 goto 4 else a1=x2 b1=x1 endif else 2 dx=dx+dx x2=x1+dx f2=f(x+x2*d,A,b) if(f2>=f1)then b1=x2 a1=x0 else x0=x1 x1=x2 f0=f1 f1=f2 goto 2 endif endif x1=a1+(1-r)*(b1-a1) x2=a1+r*(b1-a1) f1=f(x+x1*d,A,b) f2=f(x+x2*d,A,b) 3 if(abs(b1-a1)<=tol)then x0=(a1+b1)/2 else if(f1>f2)then a1=x1 x1=x2 f1=f2 x2=a1+r*(b1-a1) f2=f(x+x2*d,A,b) goto 3 else b1=x2 x2=x1 f2=f1 x1=a1+(1-r)*(b1-a1) f1=f(x+x1*d,A,b) goto 3 endif endif golden_n=x0 end function golden 101 end !!!本程序适用于求解形如f(x)=1/2*x'Ax+bx+c二次函数的稳定点； !!!输入函数信息，输出函数的稳定点及迭代次数； !!!iter整型变量，存放迭代次数； !!!x为n维变量，初始值由用户输入；gradt实型变量，存放函数梯度; !!!dir实型变量，存放搜索方向； program main real,dimension(:),allocatable::x,gradt,dir,b ,s,y,p ,gradt1,x1 real,dimension(:,:),allocatable::hessin ,H ,G ,U real::x0,tol integer::n ,iter,i,j print*,'请输入变量的维数' read*,n allocate(x(n),gradt(n),dir(n),b(n),s(n),y(n),p(n),gradt1(n),x1(n)) allocate(hessin(n,n),H(n,n),G(n,n),U(n,n)) print*,'请输入初始向量x' read*,x print*,'请输入hessin矩阵' read*,hessin print*,'请输入矩阵b' read*,b iter=0 tol=0.000001 do i=1,n do j=1,n if (i==j)then H(i,j)=1 else H(i,j)=0 endif enddo enddo 100 gradt=matmul(hessin,x)+b if(sqrt(dot_product(gradt,gradt))<tol)then !print*,'极小值点为：',x !print*,'迭代次数:',iter goto 101 endif dir=matmul(H,gradt) x0=golden(x,dir,hessin,b) x1=x+x0*dir gradt1=matmul(hessin,x1)+b s=x1-x y=gradt1-gradt call vectorm(s,G) U=G call vectorm(matmul(H,y),G) H=H+1/dot_product(s,y)*U-1/dot_product(matmul(H,y),y)*G x=x1 iter=iter+1 if(iter>=10*n)then print*,"out" goto 101 endif print*,"第",iter,"次运行结果为", "方向为",dir,"步长",x0 print*,x,"f(x)=",f(x,hessin,b) goto 100 contains !!!子程序，返回函数值 function f(x,A,b) result(f_result) real,dimension(:),intent(in)::x,b real,dimension(:,:),intent(in)::A real::f_result f_result=0.5*dot_product(matmul(x,A),x)+dot_product(b,x) end function f !!!子程序，矩阵与向量相乘 subroutine vectorm(p,G) real,dimension(:),intent(in)::p real,dimension(:,:),intent(out)::G n=size(p) do i=1,n do j=1,n G(i,j)=p(i)*p(j) enddo enddo end subroutine !!!精确线搜索0.618法子程序，返回步长； function golden(x,d,A,b) result(golden_n) real::golden_n real::x0 real,dimension(:),intent(in)::x,d real,dimension(:),intent(in)::b real,dimension(:,:),intent(in)::A real::x1,x2,a1,b1,f0,f1,f2,r,tol,dx parameter(r=0.618) tol=0.0001 dx=0.1 x0=1 x1=x0+dx f0=f(x+x0*d,A,b) f1=f(x+x1*d,A,b) if(f0<f1)then 4 dx=dx+dx x2=x0-dx f2=f(x+x2*d,A,b) if(f2<f0)then x1=x0 x0=x2 f1=f0 f0=f2 goto 4 else a1=x2 b1=x1 endif else 2 dx=dx+dx x2=x1+dx f2=f(x+x2*d,A,b) if(f2>=f1)then b1=x2 a1=x0 else x0=x1 x1=x2 f0=f1 f1=f2 goto 2 endif endif x1=a1+(1-r)*(b1-a1) x2=a1+r*(b1-a1) f1=f(x+x1*d,A,b) f2=f(x+x2*d,A,b) 3 if(abs(b1-a1)<=tol)then x0=(a1+b1)/2 else if(f1>f2)then a1=x1 x1=x2 f1=f2 x2=a1+r*(b1-a1) f2=f(x+x2*d,A,b) goto 3 else b1=x2 x2=x1 f2=f1 x1=a1+(1-r)*(b1-a1) f1=f(x+x1*d,A,b) goto 3 endif endif golden_n=x0 end function golden 101 end

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