### 以最大似然视角重新审视的线性回归
#### 最大似然估计与线性回归结合
在探讨最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation, MLE）与线性回归的关系之前，我们需要先理解线性回归的基本概念及其数学表述。线性回归是一种通过寻找一条最佳拟合直线来预测连续型目标变量的方法。假设有一个简单的线性模型表示为 \(y = \theta^T x + b\)，其中 \(y\) 是目标变量，\(x\) 是特征向量，\(\theta\) 和 \(b\) 分别是权重向量和偏置项。
#### 条件对数似然函数
在给定数据集的情况下，我们可以通过条件对数似然函数来找到最佳的参数估计值 \(\theta\) 和 \(b\)。条件对数似然函数定义为：
\[
\hat{\theta} = \arg\max_{\theta} \sum_{i=1}^{m} \log(P(y^{(i)} | x^{(i)}; \theta))
\]
这里的 \(P(y^{(i)} | x^{(i)}; \theta)\) 表示在给定特征向量 \(x^{(i)}\) 的情况下，目标变量 \(y^{(i)}\) 的条件概率密度函数。该函数的目标是最小化数据与模型之间的差异，即找到最有可能解释观测数据的参数。
#### 正态分布下的线性回归
假设模型的输出服从正态分布，这在许多实际应用中是非常合理的假设，因为根据中心极限定理，大量独立随机变量的和趋向于正态分布。对于线性回归问题，若输出 \(y\) 服从正态分布，则需要确定两个参数：均值和方差。通常情况下，方差由用户指定，而均值则由线性模型给出，即 \(\mu = \theta^T x + b\)。
#### 概率密度函数
当假设输出服从正态分布时，其概率密度函数可以表示为：
\[
P(y^{(i)} | x^{(i)}; \theta) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\left(-\frac{(y^{(i)} - \theta^T x^{(i)} - b)^2}{2\sigma^2}\right)
\]
这里，\(\sigma^2\) 是方差，\(\mu = \theta^T x + b\) 是均值。
#### 对数似然函数
对数似然函数是对上述概率密度函数取对数得到的，形式上更为简洁，并且优化起来也更加方便。对于一组样本 \((x^{(i)}, y^{(i)})\)，对数似然函数可表示为：
\[
\ln L = -\frac{m}{2}\ln(2\pi) - \frac{m}{2}\ln(\sigma^2) - \frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^{m}(y^{(i)} - \theta^T x^{(i)} - b)^2
\]
进一步简化可以得到：
\[
\ln L = -\frac{m}{2}\ln(2\pi) - \frac{m}{2}\ln(\sigma^2) - \frac{1}{2\sigma^2}(Y - X\theta - B)^T(Y - X\theta - B)
\]
#### 参数估计
为了最大化对数似然函数，需要找到使上述表达式最大的 \(\theta\) 和 \(b\)。这实际上等价于最小化残差平方和 \((Y - X\theta - B)^T(Y - X\theta - B)\)。通过对 \(\theta\) 求导并令导数为零，可以得到 \(\theta\) 的解析解：
\[
2X^T(Y - X\theta - B) = 0 \Rightarrow X^TX\theta = X^T(Y - B) \Rightarrow \theta = (X^TX)^{-1}X^T(Y - B)
\]
这样，我们就基于最大似然估计的思想得到了与传统线性回归最小二乘法相同的解。
#### 结论
通过将最大似然估计方法应用于线性回归问题，我们不仅能够获得与传统方法相同的参数估计结果，而且还能更好地理解这些估计是如何通过概率框架得出的。这种方法提供了一种直观的方式来看待线性回归模型，并且有助于我们在更广泛的统计建模和机器学习领域中理解和应用最大似然估计。
