第一章 矩 阵
§1.1、1.2 矩阵的概念及运算
1. 判断正误，正确的画√，错误的画×。
（1）对矩阵
A
与
B
，若满足
AB BA=
，则
AB
与
BA
必为同阶方阵。 （ √ ）
解 由
A
与
B
能乘可知
n s=
，由
B
与
A
能乘可知
p m=
，
AB
是
m p´
矩阵，
BA
是
s n´
，由
AB BA=
可知
m s=
，
p n=
，从而有
m n p s= = =
，故
AB
与
BA
必为同
阶方阵
（2）
A
与
B
为
n
阶方阵，
( )
k k k
AB A B=
)( Nk �
。 （ × ）
( ) ( )( ) ( )
k
k
k
AB AB AB AB ABAB AB= =L L
1 44 2 4 43
1 4 44 2 4 4 43
，矩阵乘法不满足交换率，故一般情况
( )
k k k
AB A B¹
（3）
A
与
B
为
n
阶方阵，
( )
2
2 2
2A B A AB B± = ± +
。 （ × ）
( ) ( )( )
2
2 2
A B A B A B A AB BA B± = ± ± = ± ± +
，矩阵乘法不满足交换率，即一般情况
AB BA¹
，故
( )
2
2 2
2A B A AB B± ¹ ± +
（4）
A
为
n
阶方阵，
( )
2
2
2A E A A E± = ± +
。 （ √ ）
( ) ( )( )
2
2 2
A E A E A E A AE EA B± = ± ± = ± ± +
2 2 2
2A A A B A A E= ± ± + = ± +
（5）
A
与
B
为
n
阶方阵，
2 2
( )( )A B A B A B+ - = -
。 （ × ）
2 2
( )( )A B A B A AB BA B+ - = - + +
，矩阵乘法不满足交换率，即一般情况
AB BA¹
，故
一般情况
2 2
( )( )A B A B A B+ - ¹ -
（6）
A
为
n
阶方阵，
2
( )( )A E A E A E+ - = -
。 （ √ ）
2 2 2 2
( )( )A E A E A AE EA E A A A E A E+ - = - + - = - + - = -
（7）若
n
阶方阵
A
满足
2
A O=
，则
A O=
。 （ × ）
例如
1 1
1 1
A O
-
æ ö
= ¹
ç ÷
è ø
，但
2
A O=
。
