Johnson-s-algo：使用各种数据结构（例如二进制堆，二项式堆，斐波那契堆数组）实现Johnson算法（全对最短路径）

约翰逊算法是图论中的一个经典算法，用于解决有向图中所有顶点对之间的最短路径问题。在解决这个问题时，它不依赖于Dijkstra算法或者Floyd-Warshall算法，而是通过一种创新的方式结合了Bellman-Ford算法和贪心策略。此算法特别适用于存在负权边的图，因为Dijkstra算法无法处理负权重，而Floyd-Warshall虽然可以处理，但效率较低。 我们来理解一下约翰逊算法的基本步骤： 1. 初始化：先运行一次Bellman-Ford算法，从一个虚拟源节点到图中的所有其他节点，这一步可以找到从虚拟源到每个节点的最短路径，并且检测是否存在负权环。如果不存在负权环，我们可以继续执行下一步；否则，图中无法计算所有顶点对的最短路径。 2. 构建新的权重：将原图的每条边权重乘以一个非零常数，使得所有边的权重变为非负。这个常数可以通过求解原图中每条边的新权重与旧权重的比值的最大值得到。这样做的目的是为了在后续步骤中避免再次遇到负权重的问题。 3. 使用Dijkstra算法：对于图中的每一个顶点，作为Dijkstra算法的起点，找到到达其他所有顶点的最短路径。由于我们已经处理了边的权重，现在图中没有负权重，Dijkstra算法可以正常工作。 4. 结果构建：根据第二步中计算的常数调整所有最短路径的长度，得到原图中所有顶点对的最短路径。 在实现约翰逊算法时，数据结构的选择至关重要，因为它直接影响算法的效率。题目中提到了三种可能的数据结构：二进制堆、二项式堆和斐波那契堆数组。 - **二进制堆**：是最基本的优先队列实现，通常用于Dijkstra算法。它的操作包括插入、删除最小元素和更新元素，时间复杂度为O(logn)。 - **二项式堆**：相比于二进制堆，二项式堆在合并操作上更有效率，适用于需要频繁合并小堆的场景。在Dijkstra算法中，如果图的边很多，而顶点数量相对较少，二项式堆可能是更好的选择。 - **斐波那契堆**：这是一种更高级的数据结构，其合并操作的时间复杂度更低，整体效率更高。在处理大量顶点或需要多次Dijkstra运行的场景下，斐波那契堆通常是最佳选择。 在C++中实现这些数据结构和约翰逊算法，需要注意内存管理、效率优化以及错误处理。文件"Johnson-s-algo-main"可能包含了实现约翰逊算法的主程序，其中会调用不同数据结构的函数来执行上述步骤。 总结来说，约翰逊算法是解决有向图中所有顶点对最短路径问题的有效方法，尤其在存在负权边的情况下。通过结合Bellman-Ford算法和Dijkstra算法，以及选用合适的数据结构，如二进制堆、二项式堆或斐波那契堆，可以在保证正确性的前提下提高算法的运行速度。C++实现的代码通常会包含这些数据结构的定义和算法的实现逻辑。