动态规划微课

动态规划是一种解决复杂问题的方法，它的核心在于将复杂问题分解为更小的子问题，并利用子问题的解来构造原问题的解。动态规划在求解优化问题，尤其是离散优化问题时非常有用。在动态规划中，关键的步骤包括定义状态、找出状态转移方程以及确定计算顺序。动态规划的特点包括最优子结构、无后效性和重叠子问题，这使得它能够通过存储子问题的解来避免重复计算，从而达到“空间换时间”的效果。 动态规划的学习和应用可以分为以下几个步骤： 1. 前导技能：掌握递归和基本的暴力搜索方法是学习动态规划的基础。递归是一种在函数定义中使用函数自身的方法，而暴力搜索则是一种通过枚举所有可能性来寻找问题解的方法。 2. 动态规划基础：理解动态规划的基本概念，包括其本质（递归）、最优子结构、无后效性（即一个状态的最优解只依赖于它的子状态的最优解，而不受其他因素影响）、重叠子问题（不同的问题实例共享相同的子问题）、去冗余（避免重复解决相同的子问题）、空间换时间（使用额外的存储空间来保存已解决的子问题，以减少计算量）。 3. 问题共性与套路：分析动态规划能够解决的典型问题，比如寻找最优解、最大值、最小值、最长路径、计数等。对于这些问题，设计状态是关键，而动态规划的套路可以帮助我们更快速地找到问题的状态表示方法。例如，在整数背包问题中，问题的最优解可以从较小问题的最优解推导出来。 4. 基本步骤：学会动态规划的四个基本步骤，包括设计暴力算法并找到冗余部分、设计并存储状态（可能需要使用一维、二维或三维数组，甚至更复杂的数据结构如Map）、推导出递归式（状态转移方程）以及采用自底向上的方式计算最优解。 5. 实例分析：通过具体实例来理解动态规划的应用。例如，斐波那契数列可以用递归的方法求解，但效率较低，而动态规划的方法可以有效提高效率。再比如，通过N*M的棋盘上小兵的行走问题，可以理解动态规划在计数问题上的应用。对于01背包问题，可以学习如何通过动态规划方法求解物品的最优组合，达到背包容量限制下的最大价值。 6. 高级应用：探讨动态规划的高级技巧，如滚动数组、状态压缩、升维、单调性、四边形不等式等。这些高级技巧可以帮助我们处理更复杂的问题，如Leetcode上的最长公共子序列问题和旅行商问题。 7. 实践与Q&A：在实际编程过程中，通过编写代码来解决具体的动态规划问题，并通过实践来掌握动态规划算法。同时，利用问答形式对动态规划进行深入理解，比如通过微博等平台与同行进行讨论和交流。 学习动态规划时，还应关注算法的时间复杂度和空间复杂度，即问题的求解效率和所需的存储空间。通过实例和习题的练习，可以更好地理解和掌握动态规划的思想和技术，从而在解决实际问题时能够有效地应用这一重要算法。