强化学习与自适应动态规划-RL and ADP

时间序列的决策问题 动态规划（DP）是一种用于解决最优化问题的方法，特别是在有多个阶段的决策过程中。在离散最优控制问题中，系统动态可以用状态转移方程表示：\( x_{k+1} = f_k(x_k, u_k) \)，其中 \( k \) 是时间索引，\( x_k \) 是系统状态，\( u_k \) 是控制或决策变量。每个时间步的代价定义为 \( g(x_k, u_k) \)。对于给定的初始状态 \( x_0 \)，一个控制序列 \( \{u_0, ..., u_{N-1}\} \) 的总成本是： \[ J(x_0; u_0, ..., u_{N-1}) = g_N(x_N) + \sum_{k=0}^{N-1} g_k(x_k, u_k) \] 目标是找到一个控制序列，使总成本最小。 贝尔曼的最优性原理是动态规划的核心思想，它指出一个最优策略的性质是，无论之前的控制动作如何，剩余的控制构成的策略对由这些先前控制导致的状态来说仍然是最优的。这通常通过构造一系列阶段，从初始状态到最后一个阶段的“人工终端节点”，并要求所有从终端节点出发的弧线具有等于终端成本的代价。 然而，动态规划面临的主要挑战是它的反向处理方式（backwards-in-time），即需要知道所有的未来状态信息来做出当前的决策，这在实际问题中往往是不可能的。此外，当状态空间和决策空间很大时，DP的计算复杂度会非常高，难以应用。 强化学习（RL）作为一种机器学习方法，试图模拟人类的学习过程，通过与环境交互来学习最优策略。在RL中，智能体通过执行动作并观察结果来探索环境，并根据奖励信号来调整其行为。与DP不同，RL不必预先知道完整的环境模型，而是基于试错来逐步优化策略。 RL的基本元素包括：状态、动作、奖励和策略。智能体在每一步选择一个动作，并根据环境的反馈（奖励）来更新其策略。目标是在长期累积奖励最大化的基础上找到最优策略。RL算法通常分为两类：基于值的（value-based）和基于策略的（policy-based）。前者如Q-learning，通过估计动作值函数来寻找最优策略；后者如策略梯度，直接优化策略参数以最大化期望回报。 自适应动态规划（ADP）则是将动态规划与强化学习相结合的一种方法，试图克服DP的局限性。ADP利用近似算法来处理大规模状态和动作空间，同时允许在未知环境中在线学习。它结合了DP的理论框架和RL的试错学习，通过迭代地近似价值函数和策略来逼近最优解。ADP在控制理论和机器人学等领域有广泛应用，因为它可以自适应地学习和改进控制策略，而无需完整建模环境。 DP提供了理论基础，RL引入了学习和探索的概念，而ADP则是这两者的融合，旨在处理现实世界中的复杂决策问题。它们都致力于解决多阶段决策优化，但各有侧重点和适用范围，共同推动了智能系统的发展。