高等数值计算大作业插值与龙格现象_高次插值的龙格现象matlab资源-CSDN文库

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在数值计算领域，插值是一种重要的数学方法，用于构建一个多项式函数，使得该函数在一组给定点上精确地匹配已知的函数值。在这个高等数值计算的大作业中，我们关注的是插值方法以及它所带来的龙格现象。下面将详细讨论这两个核心概念。插值是一种在离散数据点之间构建连续函数的技术，它在科学计算、工程分析和数据拟合中有着广泛的应用。常见的插值方法有拉格朗日插值和牛顿插值等。在这项作业中，我们特别关注拉格朗日插值法。拉格朗日插值基于一组节点点 \( x_0, x_1, ..., x_n \)，通过构造拉格朗日基多项式来近似给定的函数 \( f(x) \)。拉格朗日插值多项式 \( P_n(x) \) 可以表示为： \[ P_n(x) = \sum_{i=0}^{n} f(x_i) L_i(x), \] 其中 \( L_i(x) \) 是第 \( i \) 个拉格朗日基多项式，定义为： \[ L_i(x) = \prod_{j=0, j \neq i}^{n} \frac{x - x_j}{x_i - x_j}. \] 选择不同的插值节点，即 \( x_i \) 的取值，会影响插值多项式的精度和行为。在区间 [-1, 1] 上，通过改变节点分布，我们可以研究插值多项式的性质及其误差变化。龙格现象，又称为龙格的奇点振荡，是插值问题中的一种现象，它指的是当插值节点过于集中时，插值多项式可能会出现剧烈的振荡，即使被插值的函数是平滑的。这种振荡导致插值误差在某些点上变得非常大，尤其是在靠近插值节点的地方。龙格现象通常发生在使用高次插值时，尤其是节点等距分布的情况。为了研究和理解龙格现象，可以选取不同类型的节点分布，比如均匀分布、随机分布、几何分布等，然后计算拉格朗日插值多项式，并比较它们在函数 \( f(x) \) 上的误差。误差通常用插值余项来度量，即 \( f(x) - P_n(x) \)。通过对比不同节点分布下的误差，可以观察到龙格现象的影响程度。在这个大作业中，"Lagrange与龙格现象.txt" 文件可能包含了具体的数据点、插值结果和误差分析。学生可能需要编写程序来实现拉格朗日插值，并通过可视化手段展示插值多项式的形状和误差变化，以便更好地理解插值的性能和龙格现象。总结来说，这个大作业旨在通过实践操作使学生深入理解插值方法，特别是拉格朗日插值，同时揭示插值过程中的潜在问题——龙格现象。通过对不同节点配置的研究，学生将学会如何选择合适的插值策略以降低误差，提高计算的稳定性与效率。

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1.2程序设计：（1）取等距节点，n=5,10,15,20. %x0、y为被插值函数变量,n为等分数，x(k)为插值点,W_x为Li(x)的分子乘（x-x(j),W1_x为Li(x)的分母,Ln_x为插值函数多项式 syms x0 x1 y x n x_para x0=-1:0.02:1;%作为画图的点 y=1./(1+25.*(x0.^2)); for n=[5,10,15,20] k=0:n; %k的范围从0到n,共n+1项 x(k+1)=-1+2*k/n; %从x（1）到x（n+1），共n+1项，即从第0点到第n点 for i=1:(n+1) %共k+1项 part_x(i)=(x_para-x(i)); %每个因式的组成，共k+1种 end for i=1:(n+1) %共k+1项 W1_x(i)=1; for j=1:(n+1) if i~=j W1_x(i)=W1_x(i)*(x(i)-x(j)); %每个因式的组成，共k+1种 end end end W_x(n+1)=prod(part_x); %累乘函数求w_x for j=1:(n+1) ln_x(j)=(1/(1+25*(x(j)^2))) * W_x(n+1) / ( (x_para-x(j))*(W1_x(j)) ); end Ln_x=sum(ln_x); x_vector=-0.99:0.008:0.99; Ln_x=subs(Ln_x,x_para,x_vector); m=n/5; subplot(2,2,m);plot(x0,y); hold on subplot(2,2,m);plot(x_vector,Ln_x); legend ('被插值函数','插值函数') ylabel('f(x) and Ln(x) '); end （2）取节点，k=0,1,2,…n;分别取n=5,10,15,20能有什么样的结论。 %x0、y为被插值函数变量,n为等分数，x(k)为插值点,W_x为Li(x)的分子乘（x-x(j),W1_x为Li(x)的分母,Ln_x为插值函数多项式 syms x0 x1 y x n x_para x0=-1:0.02:1;%作为画图的点 y=1./(1+25.*(x0.^2)); for n=[5,10,15,20] k=0:n; %k的范围从0到n,共n+1项 x(k+1)=cos(k*3.1415926/n); %从x（1）到x（n+1），共n+1项，即从第0点到第n点 for i=1:(n+1) %共k+1项 part_x(i)=(x_para-x(i)); %每个因式的组成，共k+1种 end for i=1:(n+1) %共k+1项 W1_x(i)=1; for j=1:(n+1) if i~=j W1_x(i)=W1_x(i)*(x(i)-x(j)); %每个因式的组成，共k+1种 end end end W_x(n+1)=prod(part_x); %累乘函数求w_x for j=1:(n+1) ln_x(j)=(1/(1+25*(x(j)^2))) * W_x(n+1) / ( (x_para-x(j))*(W1_x(j)) ); end Ln_x=sum(ln_x); x_vector=-0.99:0.008:0.99; Ln_x=subs(Ln_x,x_para,x_vector); m=n/5; subplot(2,2,m);plot(x0,y); hold on subplot(2,2,m);plot(x_vector,Ln_x); legend ('被插值函数','插值函数') ylabel('f(x) and Ln(x) '); end

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