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概率论与数学建模.pdf
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概率论与数学建模.pdf
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第六章 概率论与数学建模
一、随机事件及其概率
1.随机事件:可重复;可预测结果且结果明确;试验前出现那个结果
不能确定
例如:抛骰子一次,抛一枚硬币三次等。
2.事件的运算及其含义:
BA :A 为 B的子事件。其含义是: A 发生则 B 必发生
BA :事件 A,B 相等。其含义是: A 发生则 B 必发生,反之亦然
CBA :事件 A 与 B 的交。其含义是: C发生当且仅当 A,B 同时
发生
CBA :事件 A 与 B的并(和)。其含义是: C发生当且仅当 A,
B 中至少有一个发生。
CBA :事件 A 与 B 的差。其含义是: C发生当且仅当 A 发生并
且 B 不发生。
AB :事件 A 与 B 互不相容。其含义是: A 与 B不可能同时发生。
A :事件 A 的对立事件。
3.概率:刻化某一事件在一次试验中发生的可能性大小的数量指标。
(当
n
时,
)()( APAf
P
)
4.古典概论:某个试验共有 n 个等可能的结果(样本点) ,事件 A 包
含其中 m 个结果(样本点),则认为
n
m
就是事件 A 的概率。这种基
于等可能性确定概率的模型称为古典概率模型。
例 6.1.1(Monte Hall Problem)20 世纪 60,70 年代,美国“电视游
精品文档
.
戏秀”曾经非常流行一个名叫 “Let’s Make a Deal”的节目,由 Monte
Hall 主持。游戏过程如下: 有三扇关着的门, 其中一扇门后面有奖品
(一辆汽车),其余两扇门后面则没有奖品,若猜中了有奖品的门就
能赢取这辆汽车。你从中挑选一扇门,但暂不打开。这时,主持人在
另外两扇门中挑一个没有奖品的门打开,并展示给你和观众。然后,
主持人问你:是坚持原来的选择,还是换成最后那扇门?
解:从能不能得奖的角度看, 这个游戏只有两个结果: 不换门得奖(A)、
换门能得奖 (B)。第一个门是你 “三选一” 随机(等可能地) 挑选的,
故 P(A)=1/3,自然,另一个结果的概率就是 P(B)=2/3。因此,正确的决
定是换成那扇门。
例 6.1.2(抽签原理)袋中有 2 只红球 8 只黑球(除颜色外无法再分
辨)。10 个人依次摸球, 得红球者中奖。 求:
k
A
={第 k 个摸球者中奖 }
的概率, k=1,2,…,10
解法一:假定对解题者来说这些球可辨别。 样本点为一轮抽签结束后
这 10 个球的排列,共有 10!个等可能的样本点。事件
k
A 所含样本点
的特征是:两个红球中任选一个排在第 k 位(有
1
2
C
种可能),而其余
9 个球在其余 9 个位置上可任意排列 (有 9!种可能)。因此
k
A
包含了
9!
1
2
C 个样本点,故
5
1
!10
!9
)(
1
2
C
AP
K
.
解法二:假定球不可辨,只需关注红球落入哪两个人之手,样本空间
共有
45
2
10
C
个等可能的样本点。事件
k
A
发生意味着第 k 个人得一红
球,另一红球落入其余 9 人中某一人之手,这有
1
9
C 种可能,所以
精品文档
.
5
1
45
9
)(
K
AP 。
例 6.1.3(分球入盒模型)将 2 只球随机地放入 3 个可辨的盒子中。
求事件 A={甲乙两个盒子中各有一只球 }的概率。
模型一:假定球可辨,根据乘法原理,样本空间有
2
3 个等可能的样本
点,而事件 A 所含的样本点有
2
2
2
P 个(两只球的排列),所以
9
2
)(AP .
模型二:假定球不可辨,则样本空间共有
6
2
4
C
个样本点(两块隔板
就可以代表三个盒子, 两只球以及两块隔板共 4 个位置,任选其中两
个放置隔板):
,,,,,
而事件 A 所含的样本点只有一个。
人的直觉经验一般应该是这样的: 从物理学上说,球总是可辨的
(难以想象这个球既是这个球又是那个球) ,所谓不可辨,也只是根
据问题或研究的目的,不在乎它们之间的区别而已。如果需要,后三
种情形还是可以区别的。因此,现在这 6 个样本点不是等可能的:前
三个均为
9
1
,后三个均为
9
2
。故答案应该还是
9
2
)(AP 。
例 6.1.4(浦丰投针问题)在平面上画一些间距为 d 的平行线,向此
平面投掷一根长为 l 的(l<a)的针,试求 A={此针能与某一直线相交 }
的概率。
略。
5.条件概率、乘法公式、独立性、全概率公式、贝叶斯公式
(1)条件概率:
)/( BAP
表示事件 B 发生的条件下事件 A 发生的概率。
且
)(
)(
)/(
BP
ABP
BAP
精品文档
.
(2) 乘法公式:若
0)(BP
,有
)()/()( BPBAPABP
.
(3)独立性:若
0)(BP
,
0)(BP
有
)()()( BPAPABP
或
)()/( APBAP
。
则称 A、B 相互独立。
(4)全概率公式:设
n
BB ,,
1
是 S 的一个分割,且 0)(
j
BP
,则对任一
事件 SA ,有
N
J
JJ
BAPBPAP
1
)/()()( .
条 件 全 概 率 公 式 : 设
n
BB ,,
1
是 S 的 一 个 分 割 , 且
0)(
j
BP
,
0)(CP ,
0)( CBP
j
,则
n
j
jj
CBAPCBPCAP
1
)/()/()/(
例 6.1.5(Polya模型)罐子里有 r 只红球和 b 只黑球, 随机取出一球,
放回后再加入同颜色的球 c 只。如此下去,求第 n 次取出红球的概率。
解:设
n
R
={第 n 次取出的是红球 },
n
B
={第 n 次取出的是黑球 },n=1,2,….
根据全概率公式,有
br
r
cbr
r
br
b
cbr
cr
br
r
BRPBPRRPRPRP )/()()/()()(
1211212
依次递推,易知有
br
r
RP
n
)( 。
(5)贝叶斯公式:设
n
BB ,,
1
是 S的一个分割,且
0)(
j
BP
,则对概
率大于零的事件 SA ,有
n
j
jj
ii
i
BAPBP
BAPBP
ABP
1
)/()(
)/()(
)/( i=1,2,…,n
例 6.1.6 一个从不抽烟的 60 岁男性去医院看病,主诉有症状 A={慢性
咳嗽及非经常性憋气 },医生安排他做肺部活组织检验,假定检验只
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.
有三种可能的结果 :
1
B ={正常(没有严重的肺病) },
2
B ={肺癌},
3
B ={结
节病 }。假设医生根据临床经验,得知这三种病与该组症状之间的关
联(条件概率)如下:
001.0)/(
1
BAP
,
9.0)/(
2
BAP
,
9.0)/(
3
BAP
另外,从疾病资料库中“年龄 -性别-抽烟”这个症状组合栏目可以找
到,在 60 岁从不抽烟的男性群体中,患这三种病的先验概率(频率)
为
99.0)(
1
BP
,
001.0)(
2
BP
,
009.0)(
3
BP
问:肺部活组织检查前,医生对该名男子应该如何诊断?
解:用贝叶斯公式,已知症状组合 A,三种疾病
321
,, BBB
的条件概率分
别为
0991.0
9.0009.09.0001.0001.099.0
001.099.0
)/(
1
ABP
0901.0
9.0009.09.0001.0001.099.0
9.0001.0
)/(
2
ABP
8108.0
9.0009.09.0001.0001.099.0
001.0009.0
)/(
3
ABP
虽然结节病的先验概率 0.009 很小,但他患有结节病的后验概率却高
达 0.8108.也就是说,虽然这组症状与两种疾病(肺癌和结节病)都
比较相符,但结合病人的年龄、性别和抽烟等情况综合考虑,应该诊
断为结节病。
下面举一个综合运用加法公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯
公式和独立性的例子。
例 6.1.7 一个罪犯单独作案,在现场留下了一些 DNA信息。法医研究
后发现能够辨别的只有 5 对,而且无罪的人也可能与此匹配, 匹配的
概率为
5
10
。检查官认为罪犯就是该城镇 100 万居民之一。过去 10
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