“费马点”与中考试题.pdf

【费马点】是数学几何领域的一个概念，源自17世纪法国业余数学家皮耶·德·费马。费马点是指在任意一个三角形中，存在一个点，该点到三角形三个顶点的距离之和最小。费马点分为两种情况：如果三角形的每个内角都不超过120度，那么费马点会使它与三角形每条边形成的张角都是120度；如果有一个内角超过120度，那么费马点就是这个内角的顶点。 寻找费马点的过程通常涉及到几何变换，尤其是旋转。例如，可以将三角形的一部分绕一个顶点旋转一定角度，然后通过分析旋转后图形的性质来确定距离之和最小的点。在解决实际问题时，可以将费马点的问题转化为其他形式，如在正方形中找到一个点，使得该点到正方形三个顶点的距离之和最小，或者在平面直角坐标系中处理更复杂的几何构造。 在2008年广东中考题中，给出了一道与费马点相关的题目，要求求解正方形边长。题目通过旋转正方形的一边并利用等边三角形的性质，找到了使点E到A、B、C三点距离之和最小的情况，即点E位于旋转后的边BG上。通过计算，可以解出正方形的边长为2。 另一道2009年北京中考题则更加复杂，涉及了坐标几何和对称性。题目中，点P从直线与y轴的交点出发，先沿y轴移动到点G，再沿GA移动到点A。问题要求找到点G的位置，使得点P按照特定速度移动至点A所需时间最短。解决这个问题的关键在于再次应用费马点的思想，即在直线MO上找到一个点G，使得G到A、B、M三点的距离和最小。 费马点在中考试题中体现了几何变换和最优化思想的结合，要求学生具备良好的空间想象能力以及对几何定理的灵活运用。通过解题，学生不仅能深入理解费马点的概念，还能提高解决实际问题的能力。