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“费马点”与中考试题.pdf
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2021-10-12
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【费马点】是数学几何领域的一个概念,源自17世纪法国业余数学家皮耶·德·费马。费马点是指在任意一个三角形中,存在一个点,该点到三角形三个顶点的距离之和最小。费马点分为两种情况:如果三角形的每个内角都不超过120度,那么费马点会使它与三角形每条边形成的张角都是120度;如果有一个内角超过120度,那么费马点就是这个内角的顶点。 寻找费马点的过程通常涉及到几何变换,尤其是旋转。例如,可以将三角形的一部分绕一个顶点旋转一定角度,然后通过分析旋转后图形的性质来确定距离之和最小的点。在解决实际问题时,可以将费马点的问题转化为其他形式,如在正方形中找到一个点,使得该点到正方形三个顶点的距离之和最小,或者在平面直角坐标系中处理更复杂的几何构造。 在2008年广东中考题中,给出了一道与费马点相关的题目,要求求解正方形边长。题目通过旋转正方形的一边并利用等边三角形的性质,找到了使点E到A、B、C三点距离之和最小的情况,即点E位于旋转后的边BG上。通过计算,可以解出正方形的边长为2。 另一道2009年北京中考题则更加复杂,涉及了坐标几何和对称性。题目中,点P从直线与y轴的交点出发,先沿y轴移动到点G,再沿GA移动到点A。问题要求找到点G的位置,使得点P按照特定速度移动至点A所需时间最短。解决这个问题的关键在于再次应用费马点的思想,即在直线MO上找到一个点G,使得G到A、B、M三点的距离和最小。 费马点在中考试题中体现了几何变换和最优化思想的结合,要求学生具备良好的空间想象能力以及对几何定理的灵活运用。通过解题,学生不仅能深入理解费马点的概念,还能提高解决实际问题的能力。
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