“PA+k-PB”型的最值问题(将军饮马、造桥选址、胡不归、阿氏圆、费马点).pdf_阿氏圆反向找点资源-CSDN文库

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“将军饮马”模型

将军饮马”：把河岸看作直线 L,

先取 A （或 B）关于直线 L 的对称

点

A

（或 B'）,连接 A'

B

（或 B

,

A）

,

并与直线交于一点 P,则点 P 就是

将军饮马的地点，即 PA+PB 即为最短路线。

例 1.如图，在锐角 △ ABC 中，AB=4 , ∠ BAC=45 , ∠ BAC 的平分线

交 BC 于点 D, M、N 分别是 AD 和 AB 上的动点，贝 U BM+MN 的最小

值是

例 2.如图，在矩形 ABCD

1

中，AB = 10, AD = 6,动点 P 满足 S

△

PAB

=

3

S

矩形

ABCD

,则点 P 至 U A ,

B 两点距离之和 PA+PB 的最小值为

例 3.如图，∠ AOB=30 ,

点 M、N 分别是射线 OA、OB 上的动

点，OP 平分∠ AOB ,且 OP=6 , △ PMN 的周长最小值为

当厶 PMN 的周长取最小值时，四边形 PMON 的面积为

变式：“造桥选址”模型

D

1

/

⅛

“PA+k・PB 型的最值问题

当 k 值为 1 时，即可转化为“PA+PB 之和最短问题，就可用我们常见的将军饮马”模型来处理，即

可以转化为轴对称问题来处理。

当 k 取任意不为 1 的正数时，通常以动点 P 所在图像的不同来分类，一般分为 2 类研究。

其中点 P 在直线上运动的类型称之为胡不归”可题；

点 P 在圆周上运动的类型称之为阿氏圆”问题。

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2023-05-23

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