《随机过程及其在金融领域中的应用》这本教材的习题二涵盖了多个关于随机过程的基础概念和计算方法。以下是对部分习题解答的详细解析：
1. 该题要求证明对于非负整数值的随机变量X，其期望的无穷级数性质。证明的关键在于利用随机变量的期望性质和指数函数的无限级数展开。通过巧妙地重新排列级数项，可以展示出E[X]的无穷级数形式，并证明其和等于1。
2. 这道题考察的是连续型随机变量的概率密度函数（PDF）及数学期望的计算。给定随机变量X的概率密度函数为f(x) = xe^(-x)，x > 0。要求求解E[exp(-aX)]。通过积分计算，可以将数学期望转化为对X的PDF的乘积与指数函数的负指数部分的积分，进而得到答案。
3. 本题涉及二维随机变量的联合密度函数、边缘密度函数以及协方差矩阵。找到二维随机变量(X,Y)的边缘密度函数，然后利用边缘密度函数的乘积等于联合密度函数的条件判断X和Y是否独立。独立性确认后，分别计算X和Y的期望E[X]和E[Y]，再根据协方差公式计算协方差，最后形成协方差矩阵。
4. 题目指出(X,Y)服从二维正态分布，给出了期望和相关系数，要求写出联合密度函数并求出参数a，使得Z=aX+Y与Y独立。二维正态分布的联合密度函数由均值、方差和相关系数确定。通过计算Z与Y的相关系数，建立等式来求解a的值。
5. 此题要求求解随机变量Y的PDF，已知X服从正态分布N(μ, σ²)。转换变量Y=ln(X)后，利用累积分布函数（CDF）和概率密度函数（PDF）之间的关系，可以推导出Y的PDF。注意这里需要用到自然对数的定义和正态分布的性质。
6. 题目给出两个独立的泊松随机变量X和Y，参数分别为λ1和λ2，要求在给定X+Y=n的情况下，求X=k的条件概率。利用泊松分布的性质和组合概率，可以将条件概率表示为关于k的项的和，然后进行计算。
7. 最后一个问题涉及到二维随机变量(X,Y)的条件密度函数。给定联合密度函数f(x, y)=xe^(-y)，0<x<y，要求求出X|Y=y和Y|X=x的条件密度函数。条件密度函数可以通过联合密度除以相应的边缘密度得到。分别计算X|Y=y的条件密度和Y|X=x的条件密度，需要注意条件限制的区域。
这些习题展示了随机过程理论在金融领域中的实际应用，包括期望、概率密度函数、联合分布、条件密度函数和协方差矩阵等核心概念。理解和掌握这些知识对于理解和分析金融市场的随机性至关重要。
