这份文档是针对杭电考博复习的矩阵理论试题，涵盖了线性代数中的多项核心概念，包括矩阵的伪逆、幂序列的收敛性、约当标准型、子空间的补空间、矩阵乘积的性质、线性变换的矩阵表示、矩阵的最小多项式和特征多项式、线性方程组的解法、矩阵的约当正规形以及正规矩阵等。下面将详细解释这些知识点。
1. **矩阵的伪逆**：矩阵A的伪逆(A+)是一个特殊的逆矩阵，对于m×n矩阵A，如果A有满秩，那么A+是唯一存在的。在题目中，选项(1)“存在且唯一”是正确的。
2. **幂序列的收敛性**：对于矩阵A，如果ρ(A*A)的平方根小于1，那么A的幂序列E, A, A^2, ...会收敛。这里ρ表示矩阵的谱半径。根据题目中的(1)“收敛于零”，如果ρ(A*A)<1，序列会收敛于零矩阵。
3. **约当标准型**：如果矩阵A满足A^n=E，即A的n次幂为单位矩阵，这表明A可能是可对角化的。选项(4)“A可能能对角化，也可能不能”是正确的，因为这取决于A的具体结构。
4. **子空间的补空间**：在有限维线性空间中，子空间U的补空间是唯一确定的，因此选项(1)“一定唯一”正确。
5. **矩阵乘积为零**：如果AB=0，那么矩阵的列空间R(A)与B的零空间N(BT)的维度之和至少为n。选项(4)“dim N(AT) + dim R(B) ≥ n”是正确的，这是线性代数的基本性质。
**填空题**涉及到了矩阵在不同基下的表示、指数函数的矩阵运算、矩阵的最小多项式以及反对称矩阵的维数等。
1. 线性变换在不同基下的矩阵表示需要进行基的转换。
2. 对于指数矩阵，sin(3A)可以用泰勒级数展开来计算。
3. 对角矩阵的最小多项式是其主对角线上非零元素的最小公倍数。
4. 所有n阶实反对称矩阵构成的集合的维数等于n，因为每一行和每一列都有n/2对反对称元素。
5. 约当标准型的计算需要找到矩阵的特征值和对应的Jordan块。
**计算和证明题**则涉及到多项式在特定基下的坐标、线性变换在不同基下的表示、矩阵的幂、最小多项式、特征多项式、约当正规形、满秩分解、广义逆矩阵的应用、矩阵的正规性和酉对角化等复杂问题，这些都需要深入理解线性代数的各个概念并能够灵活应用。
整体来看，这份复习资料覆盖了矩阵理论的广泛内容，对考博生来说是一份宝贵的参考资料。通过解答这些问题，考生可以深入理解矩阵的性质及其在解决实际问题中的应用。
