根据给定的工程矩阵理论试卷样卷之一的内容，我们可以从中提炼出多个重要的知识点，并进行详细的阐述。
### 一、子空间及其性质
#### 1. 子空间的定义与证明
**定义**：若集合\(V\)对于所有的矩阵加法和数乘运算封闭，则称\(V\)是复数矩阵\(\mathbb{C}^{2\times2}\)的一个子空间。
**题目**：已知矩阵\(A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\)，\(C\)是所有形如\(XA = AX\)的\(\mathbb{C}^{2\times2}\)矩阵的集合。证明\(C\)是\(\mathbb{C}^{2\times2}\)的子空间。
**证明**：要证明\(C\)是子空间，需要验证两点：加法封闭性和数乘封闭性。
- **加法封闭性**：设\(X_1, X_2 \in C\)，则有\(X_1A = AX_1\)和\(X_2A = AX_2\)。对于\(X_1 + X_2\)，我们有\((X_1 + X_2)A = X_1A + X_2A = AX_1 + AX_2 = A(X_1 + X_2)\)。因此，\(X_1 + X_2 \in C\)。
- **数乘封闭性**：设\(X \in C\)，\(\lambda \in \mathbb{C}\)，则有\(X A = AX\)。因此，\(\lambda X A = \lambda AX = A(\lambda X)\)。故\(\lambda X \in C\)。
#### 2. 求子空间的基与维数
**题目**：求\(C\)的一组基以及\(C\)的维数。
**解答**：由于\(C\)中的矩阵满足\(XA = AX\)，通过计算可以发现\(C\)实际上是由一组特定矩阵组成的。对于\(A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\)，可以构造一个特定的矩阵作为\(C\)的基，例如\(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)。进一步分析可以得到\(C\)的维数为1。
#### 3. 坐标表示
**题目**：求矩阵\(B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 5 & 2 \end{pmatrix}\)在上一小题得到的基下的坐标。
**解答**：由于\(C\)的维数为1，且其基为\(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)，因此矩阵\(B\)在这个基下的坐标为\(2\)。
### 二、特征多项式与行列式
#### 1. 特征多项式的性质
**题目**：已知n阶方阵\(A\)满足\(A^2 - 6A + 7I = 0\)，且\(A + 7I\)的秩为\(r\)，求\(\det(A + 2I)\)。
**解答**：首先利用特征多项式的性质，可以推导出\(A + 2I\)的特征值。由\(A^2 - 6A + 7I = 0\)可知，\(A\)的特征值满足\(\lambda^2 - 6\lambda + 7 = 0\)。解得特征值为\(\lambda = 3 \pm \sqrt{2}\)。因此，\(\det(A + 2I) = (5 + \sqrt{2})(5 - \sqrt{2}) = 23\)。
### 三、线性变换
#### 1. 线性变换的定义与证明
**题目**：设矩阵\(M = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}\)，在\(\mathbb{C}^{2\times2}\)上定义变换\(f\)为\(f(X) = XM\)，证明\(f\)是线性的。
**证明**：要证明\(f\)是线性的，需要验证两个条件：加法线性与数乘线性。
- **加法线性**：设\(X_1, X_2 \in \mathbb{C}^{2\times2}\)，则有\(f(X_1 + X_2) = (X_1 + X_2)M = X_1M + X_2M = f(X_1) + f(X_2)\)。
- **数乘线性**：设\(X \in \mathbb{C}^{2\times2}\)，\(\lambda \in \mathbb{C}\)，则有\(f(\lambda X) = (\lambda X)M = \lambda(XM) = \lambda f(X)\)。
#### 2. 线性变换的矩阵表示
**题目**：求\(f\)在基\(\{E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}\}\)下的矩阵\(A\)。
**解答**：将基\(\{E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}\}\)分别作用于\(f\)，即\(f(E_{ij}) = E_{ij}M\)，可以得到\(f\)在该基下的坐标表示，进而得到矩阵\(A\)。
#### 3. 值域与核的性质
**题目**：求\(f\)的值域\(R(f)\)与核\(K(f)\)的一组基以及它们的维数。
**解答**：对于值域\(R(f)\)，可以通过计算\(f\)对基的作用来确定；对于核\(K(f)\)，则需要找到所有使\(f(X) = 0\)的\(X\)。
#### 4. 分解性质
**题目**：判断\(\mathbb{C}^{2\times2} = R(f) \oplus K(f)\)是否成立？
**解答**：由线性代数的基本定理可知，若\(f\)是线性变换，则\(\mathbb{C}^{2\times2}\)可以分解为\(R(f) \oplus K(f)\)。
### 四、Jordan标准形
#### 1. Jordan标准形的定义
**题目**：已知矩阵\(A\)的特征多项式\(p_A(\lambda)\)与最小多项式\(m_A(\lambda)\)均为\(\lambda^5\)，求矩阵\(A\)与\(A^2\)的Jordan标准形。
**解答**：由于特征多项式与最小多项式相同，且为\(\lambda^5\)，说明\(A\)只有一个特征值0，且对应的Jordan块大小为5。因此，\(A\)的Jordan标准形为一个\(5 \times 5\)的Jordan块，且对角线上均为0。\(A^2\)的Jordan标准形同样只有一个Jordan块，但大小变为\(5\)，对角线元素为0。
### 五、矩阵函数与广义逆
#### 1. 矩阵指数函数
**题目**：已知矩阵\(A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\)，求矩阵函数\(e^{tA}\)。
**解答**：利用矩阵指数函数的定义与幂级数展开，可以求得\(e^{tA}\)的具体形式。
#### 2. 广义逆矩阵
**题目**：求矩阵\(A\)的广义逆矩阵\(A^+\)。
**解答**：利用广义逆的定义，可以构造出满足条件的广义逆矩阵\(A^+\)。
### 六、最小范数问题
#### 1. 最小范数问题的求解
**题目**：设\(\mathbb{C}^3\)的子空间\(V = \{(x, y, z) | x - 2y + z = 0\}\)，试求\(V\)中的向量\(\eta_0\)，使得对于任意的\(\xi \in V\)，有\(|\xi - \eta| \geq |\xi - \eta_0|\)。
**解答**：这个问题实质上是在求\(V\)中的一个向量，使得它到其他所有向量的距离最小。可以通过投影的方法来求解这个问题。
### 七、正定矩阵与范数不等式
#### 1. 正定矩阵的判定
**题目**：假设\(\alpha\)是n维单位列向量，矩阵\(A = H - k\alpha\alpha^T\)。证明：\(A\)是正定的当且仅当\(k < 1\)。
**证明**：利用正定矩阵的定义和性质进行证明。
#### 2. 范数不等式
**题目**：假设\(A\)是\(n \times n\)矩阵，证明：\(\|A\|_F \leq \|A^2\|_F\)。
**证明**：通过分析矩阵范数的定义与性质，可以证明该不等式成立。
