论文研究-基于DPBX-α算子的自适应差分进化算法 .pdf

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基于DPBX-α算子的自适应差分进化算法,汪洋,蔡之华,PBX-α算子是遗传算法(GA)中能够较好地平衡算法勘探性与开采性的一种变异算子. 本文基于PBX-α算子的思想提出一种新型的差分变异算子DPB
国利技记文在线 http://www.paper.edu.cn 父代差分向量,F为缩放比例因子 t+1 tif(rmd(0,1)≤ 种群内个体经过变异之后,+利用C概率性的通过公式(2)与x进行交叉生成试验向 量v2+1,其中,j=[1,2,3,…,D],用于表示每个个体每一维的分量,另外rmw1是对于第i个个 体生成的一个1与NP间的随机数.试验向量2+与进行比较,较优的个体作为r:+进入下 轮,如公式(3)所示.DE算法的搜索性能取决于算法全局探索和局部开发能力的平衡,而这在很 大程度上依赖于算法的控制参数的选取,包括种群规模、缩放比例因子和交叉概率等③ f(u+1≤x,) J otherwse 针对差分进化算法对其控制参数(C,P)的设置很敏感,且随不同问题需要进行不同的设 置的不足,许多学者提出了自适应参数控制的差分进化算法45.在自适应的差分进化算法中 C-和F均利用演化过程中的反馈信息,并通过不同的自适应机制进行调整.参数自适应策略的 加入,使得DF在解的求解精度、收敛速度和鲁棒性上均优有显著改进 2DPBX-a:一种新的DE变异算子 PBX-a是一种将子个体定位在两个双亲个体之问的中央重组算子其提出的初衷是在GA中 作为重组算子,用于解决连续型的优化问题67.通过此算子,生成的子代个体将处丁支配父 代个体(在有些文献中也称为母亲个体)的邻近区域,同时子代也轻微地受到另外一个父代个 体(父亲个体)的信息的影响.在PBXa屮,涉及到两个实数编码的个体=(x1,x2,x3,…,xn)以 及y-(,y,y3,…yn),n为问题中变量的个数.现将x作为一个支配个体(母亲个体)且y作为被 支配个体(父亲个体,生成的子代为z=(x12,33,…,mn),对于每一个x1都是从区间[1oe,wp中 随机选取,其中:(1)令Ⅰ=|x;-y;(2)lo;={min;,xz-I:a},其中min是变量第i维的下 边界值;(3)={max,x;+I·a},其中max;是变量第i维的上边界值. 上述过程描述了如何通过PBX-生成新的个体,通过重组.新生成的子个体的每一维分 量将位于以支配个体为中心的临近区域内,它的范围取决于被支配个体的各维取值.而 于PBX-a算子引入的一个新增的参数a,其可以在一定程度上对勘探性与开采性起到平衡的 作用这一过程同D中由两个个体生成变异向量的方法相类似.例如,在基木DE算法中,将两 其他向量(两个父亲个体)的差分量添加到基向量(母亲个体)之上.由此可见DE的变异算子 与PBX-α算子有很多相似之处.因此,将PBX-a算子的思想运用在DE中是可行的.但是,由 于PBX-算子仅涉及两个父代个体,而DE中父代个体至少为三个,因此无法将该算子直接运 用在DE中.借鉴PBX-α的思想,本文提出一种适合DE的变异算子称之为DPBX-( differential 国利技记文在线 http://www.paper.edu.cn PBX-a)对于种群屮的第个个体,其具体描述如下所示: api.j= min(max,, IrD.i-I; c) lowi, j=max(min;, CrO,;+Ij 1,=x70+a(0.3)·F.(P2-l0,) 其中:表示种群中的第个个体,表示个体的第维,rmd(0,)表示返回一个0到间的均匀分布 的随机数,其中多∈0,1.max;与min代表间题变量第j维上界与下界.在 DPBX-O中,x,,x2作 为两个被支配向量其决定着变异向量在支配向量x附近的变化范围,再通过均匀分布使其有相 冋的概率位于支配向量的近端或远端,这样可以吏好的平衡算法的勘探性与开采性,便于整个 群体在解空间内向最优点靠近 3基于DPBX-a的差分进化算法:PADE 基于DPBⅹ-α算子,提出一种自适应差分进化算法:PADE,该算法的变异策略将采 用cureηnt-to- pbest/DPBⅩa,F、Cr将用自适应的参数调节策略,同时算法将分为无外部 种群与带外部种群两种情况 31 current-to- pbest/DPBX-n变异策略 current-to- pbest是JADE中使用的差分策略,旨在更好地平衡算法的局部收敛性和空 间搜索性.首先利用公式(5)定义 ccurrent-to-est,其中 upbest表示将整个种群的所有个体按 优劣程度排序,优劣程度是基于适应值评价标准的,在其中最好的υ个个体中随机选取·个即 为 upbest; currert-to- pbest策略的具体形式如(6)中所示,其中F为参数白适应过程中第i个 个体当前的缩放因子;mn与r2的选择方式与(1)中基本DF算法中一致,从当前种群中随机选 取 current-to-pbest=Ci, j+Fi.(pbest. i-i,i) (5) vi, j=acurrent-to-pbest Fi(r1,j-3r2, (6) 将eure"nt-to- pbest策略与(4)中DPBX-a算子相结合,提出一种 cuurrent-to- pbest/DPBx a变异簣略,其具体表示如(7)中所示,其中各个参数的表述与(4)5)(6)中完全一致 up, j= min(maxi, Jcurrent-to-pbest-I, a) lowi.j= max(min,, current-to-pbest+I;a +ra(0,3)·F2·(D-l0 国利技记文在线 http://www.paper.edu.cn 种群初始化外部种群初始化 L变异H导入外部种群h 交叉 选择 更新外部种群 满足结束条作 结束 图1:带外部种群的PADE算法流程图 32算法参数的设置 PADE主要涉及到五个参数;,F,Cr,a,B.F与C的大小对于算法的性能影响十分明显,同 时它们的取值也是十分敏感的,本文将采用文献⑧]中自适应的簽略让其随着算法的搜索朝着合 理的取值调整,同时p的大小采用种群规模NP的20%,对于α与β,将其分别设置为定值,这要做 方面考虑到此算子刚刚提出,只是一种尝试性的研究;另一方面,过多的参数进行自适应调节 可能会阻碍种群的进化 3.3算法的整体流程 PAD将考虑不带外部种群及设置外部种群两种情况.图1描述了带外部种群的PADE算法 的整体流程.在设置外部种群的算法中,令P与A分别表示当前种群与欠部种群,在图1变异操 作中, best以及r1的设置与41中一致,将两者从P中选取而r2则从PUA中选择,如果r2是位 于P中,则采用公式(7)中的力法进行变异,如果xr2是位于A中,则采用公式(6)的方式进行差分变 异.交叉操作与选择操作与基木差分进化算法中相同.算法经过多次的循环之后直到满足终 止条件,其求解过程结束.外部种群的构造十分简单,初始化时它是一个空的种群,在每一轮 进化之后,在选择操作中被淘汰的父代个体被放入外部种群中,外部种群存在一个最大种群规 模NA,当外部种群的大小超过NA时,外部种群中的一些个体将随机的被移除以使规模得其保 持在NA之内.不带外部种群的PADE算法相当于将尔部种群的NA设为0. 4PADE性能测试实验与分析 4.1测试函数优化实验 为了验证算法的有效性,PADE将分别在30维与100维上优化表1中13组经典的测试函数 这些测试函数经常被用于衡量演化算法的性能,对于这些算法的具体描述可查阅参考文献[9]. 国利技记文在线 http://www.paper.edu.cn 图2:在30维解空间下五种算法对尸2及∫12求解的收敛曲线 在实验中,将选取JADE与jDE对PADE进行对比试验,与ADE一样,jDE也是近几年提出的十分 经典的自适应差分进化算法.同时,JAD与PAD均考虑带外部种群与不带外部种群两种 情况。为了体现公平性,同时考虑到PADE的算法结构在一些环节与JADE一致,PADE的基本 参数设置与ADF一致.另一方面,将a与设为定值,其中a=1,月=08 表1:13组测试函数列表 函数 名称 每维的取值区间最优点 Sphere 土100 0 ∫2 Schwefel222 士10 0 f 3 Schwefel 1.2 ±100 f4Schwefel2.21 士100 5 brock ±3 0 6 Step 土100 f7 Quart 士1.28 f8 Schwefel 2.26 土500 0 f9 Rastrigin 土5.12 0 f10 Ackley ±32 f11Griewank ±600 0 f12 ponalizcd1 ±50 f13 cnalizcd2 ±50 0 对于表1中的13组测试函数,它们的全局最优点均为尸*=0.其中f1一f6是连续的单峰函 数,∫7是带噪声的qμ artic函数,∫8一∫13是多峰函数且随着维度的增加,其局部最优点的数目呈 指数级的增加.实验将分别在30维与100维的条件下进行模拟测试,对于两种情况,种群的规 模分别设为100与400.同时,为了避免随机干扰,每种算法在每个函数独立运行50次,取50次实 验结果的平均值和方差作为实验分析数据 表2与表3反映了几种算法经过规定代数的进化之后,50次实验最终结果平均值及方差的结 果对比,对于均值最优的算法结果将数字倣加黑处理.其中, JADE W/ o archive与 JADE with 国利技记文在线 http://www.paper.edu.cn 表2:五种算法在13组测试函数上30维解空间的实验结果列表 代数 jDE JADE w/o archive JADE with archive PADE w/o archive PADE with archive f115001.15E-2±271E568.27E59±534E-116+5.95E-55±1.75E-107+3.19E-57±24E-112 257E-50±32OE-98t f220009.86E24±4.93E47 3.52E26士3.40E50 8.58E25±9.84E48十 464E-31士587E-60 179E24±2.58E47 f350001.91E13士1.49E25t 1.20E61士1.08E121 1.14E85±205E169937E61±618E120420E-07±274E-1921 f450001.02E-15±6.21E31 291E24±711E-47+5.63E-66±271E-130 7.25E-28士2.59E-53 1.07E-76±433卫-151 f55000668E03±1.22E-03+239E01±9.15E01 239E-01±9.15E-01 172E+00±1.35E+02 159E01士623E-01 f61005.76E+02±1.35E+04+2.78E+00±2.46E+005.80E+002.86E+00+0.00E+00士0.00E+002.34E+00±1.7OE+00 f73000278F-03=5.18F-07 6.54F-03±4.72F-06 6.18F-03-4.51F-06 5.34F-03±3.41F-06 5.69F-03±289F-06 8 141F+02±382F+04+798F+02±1.72F+04748F+02±2.58F+042.49F+02±1.14F+044.35F+02±1.41F+04 10005.18E-05=1.03E-19 1.39E-04+3.35E-09 1.68E-04-3.27E09 5.18E-05±1.47E-16 535E-05±1.07E-12 f910001.98E-04±2.19E07十 108E-04±2.30E-09t 1.69E-04士726E091338E-07±184E-13 2.05E-05士2.33E-10 f10 00 2.32E-04士584E-09十 8.41E-10±6.06E-19 276E-09±5.10E-18十 8.12E-11±480E-21 202E09士539E-18 f115004.06E-05±237E-08 1.82E-07±1.66E-12 1.48E-04-1.09E06 4.44E-04±488E-06 1.48E-04士1.09E-06 6.94上-08士1.65上-15t 2.99比-17士1.85E-32↑ 2.90E-16士7.64上-311 137E-19±241E-37 6.58E-17±3.60-3 15009.42E-30=1.05E-58 6.28E-32士4.40E-93 628E-32-4.4UE93 6.28E-32±4.40E-93 6.28E-32±4.40E-9 5.31E-07±8.18E-14十 5.08E-17±3.65E-33t 5.78E-16±149E-30 8.71E-19±250E-36 368E-16土5.17E31t 1500 5.89E-29-3.67E-57 1.35E-32±6.88E-95 1.35E-32=6.88E95 1.35E-32±6.88E-95 1.35E-32士688E-95 w/L/ 8/3/2 8/2/3 其中,十与分别表小:经过α〓0.05的 Wilcoxon符号秩检验,不带外部种群的PADE算法在对应测试函效上显著优于或差于与之相比较 的算法 archive分别表示不带φ部种群的JADE及带外部种群的JADE, PADE W/ o archive与 PADE with archive分别表示不带外部种群的PADE及带外部种群的PADE.如果对于某些测试函数例如f8, 最终结果算法间无明显差异,将选用中间的代数进行再次比较,这样π以客观的反映算法的 性能,对于各个测试函薮规定代数的选取参考了文献冏6中的设定,因此代薮的选取也是合理 的.同时对每一个测试函数的实验结果选取一个基准算法与其他算法采用 Wilcoxon符号秩检 验( Wilcoxon signed- rank test)进行两两显著性测试,在表2中选取不带种群的PADE算法作为基 准算法,而在表3中选取带外部种群的PADF算法作为基准算法.表中m/t/的m、tl分别表示经 过显著性测试基准算法与其他几种算法相比胜、平、负的函数数目这几种算法中,对于种群屮的 每一个个体,其在每一代的评价次数均为一次,因此在相同的代数条件下,几种算法评价函数的 调用次数( NFFES)相同.根据表2中的结果可以看出在30维的情况卜,两种形式的PADE在10组 函数上优于其他算法,说明了该算法解决低维问题的有效性,同时,根据显著性测试结果,不带 外部种群的PADE算法整体性能显著优于其他算法;而在表3中,可以看到在100维的条件下,在 所有的13组测试函数中,带外部种群的PADE在10组测试函数上表现出了最优的性能,通过显著 性测试结果也体现了该算法解决髙维问题的显著性能,反映了外部种群在解决髙维问题时发挥 的重要作用 图2形象描述了在30维情况下各个算法对八2及∫12的求解收敛曲线其中横轴为演化代 数( Generation),纵轴为算法计算的优化值,并对其取10的对数值.通过收敛曲线可以观察到, 国利技记文在线 http://www.paper.edu.cn 表3:五种算法在13组测试函数上100维解空间的实验结果列表 代数 jDD JADE w/o archive JADE with archive TADE w/o archive PADE with archive f 2000 232E15士4.89E-31 1.23E-48±2.34E-965.45E-67±326E-132+1.92E-55±433E-110+855E-70±470E-138 f2 3000 238E15±4.92E31十 229E42±119E8311.27E50±590E100+8.36E52±2.07E102+9.36E-55±6.00E-108 f3 8000 320E01±5.15E02十 763E27±1.74E521.4E37±2.84E74 182E21士275E426.74E41±120E80 f415000 204E09士1.81E-19十 1.56E-02±9.62E-0511.34E-70±5.20E-140+1.70E+00±1.85E01428E-84516E-166 6000 07E+01±7.02E+014.78E01+1.71E+00+877E-01±278E+00471E+01+688E+011.59E-01±623E-01 f61501.06E+04±9.82E+055.28E+00±5.76E+00+1.74E+00±2.32E+00+7.2E-01±1.10E-00t300E-O1±2.96E01 500 1.90E+CO+1.72E+00 180E-01+1.91E-010.00E+00+0.0E+002.00-02+2.0C202 0.00E+00+0.00E+00 6000 744E-03+9.80E-07t 5.45E-03+1.72E-06t 469E-03+7.94E-075.62E-03+125E-06456E-03+767E07 10006.06E+03士2.15E+059.38E+03±1.19E+05+9.30E+031.06E+057.84E+03士1.25E+058.54E+03±1.35E+05 9000 173E-04±0.00E+00 173E-04±0.00E+00 173E-04±0.00+001.73E-04±0.0E+001.73E-04±0.00E+00 f9 3000 1.1TE-04±2.29E08 260E-01±231B03+273E-01±355-09370E-04±202E0725.31E-02±1.83E:04 50U 4.04E-01±3.99上-03 769上-06士3.10H-12t 3.73上-07±1.00B-14 1.42E-06724E-14 1.86E-07士250E-15 3000 6.13E-14±9.23E-29 1.36E-14±2.89E-30 9.12E-15±3.09E-30 1.26E-14±3.03E-30 9.75E-15士3.14E-30 f1130 000E+00±000E+001.13E-03±9.97E-06 2.46E-04士3.04E-06 1.38E-03±8.97E-06 7.39E-04±6.75E-06 500 138E+00±872E-02t 622E-04±1.93E-05t 6.22E-04±1.93E-05 8.64E-13士382E-25 505E-144.40E-26 3000 377E-26±3.34E+00 6.22E-04±2.41E-06 6.22E-01±1.41E-23 1.88E-32±5.03E-20 1.88E-32±2.03E-23 f13 500 855E+00±3.34E+00+2.20E-04±2.41E-06+4.40E-12±1.41E-23+1.42-10±5.05E-202.05E-12±2.03E-23 3000 4.01E25±2.62E50 2.20E04士2.41E06 1.35E32士6.88E95 1.35E32±6.88E95 1.35E32士6.88E95 /t/ 10/1/2 12/1/0 10/3/0 10/1/2 其中,与分别表示:经过α=0.05的 Wilcoxon符号秩检验,带外部种群的PADE算法在对应测试函数上显著优于或差于与之相比较 的算法 表4:五种算法在两个实际优化问题的实验结果列表 NFFES E JADE W/o archive JADE with archive PADE W/o archive PADE with archive P11.50E+052.72E01±394E01t6.86E01±513E+00t4.07E01249E+00 1.96E-02±6.50E-03 259E01±2.28E+00 21.00E+0 214E+012.00E+002.49E+01±7.90E-01-2.51E+01土9.13E01t-264E+01±538E-01-20E-01士1.37E+00t 2/0/0 2/0/0 2/0/0 /0 其中,与分别表示:经过α=0.05的 Wilcoxon符号秩检验,不带外部种群的PADE算法在对应测试函数上显著优于或差于与之相比较 的算法 处理低维的问题时,不带外部种群的PADE算法的收敛能力极强,明显优于其他算法.对于高维 问题,同样以2及∫12为例,如图3所示,两种PADE的寻优能力明显也是优于JADE及jE的 4.2实际问题模拟优化实验 为了验证PADE解决实际优化问题的能力,本文选取了两个十分典型的复杂实际问题 对其进行优化实验,这两个问题分别是:(P1)声波调频参数估计( parameter estimation for Frequency- Modulated sound waves)2;(P2) Lennard-Jones势能问题( Lennard-Jones potential 国利技记文在线 http://www.paper.edu.cn 图3:在100维解空间下五种算法对∫2及f12求解的收敛曲线 图4:五种算法在P1、P2上的收敛曲线 problem)3.其中P1是一个具有六个参数的程优化问题,它的最优值为0.该问题是一个 髙度复杂的多峰问题,它具有很强的异位显性.P2是一个分子势能最小化优化问题,该多 峰问题包含分子个数的指数级个局部最优点,因此一般算法很难获得很好的优化效果15.对 于P1与P2的具体描述可参见文献[2]13] 对于P1与P2两个问题,本文同样选取上文中的五种算法进行优化,算法的各个参数没置与 上文中完全一致.其中对于P1,设置NFFs为1.5x105;对于P2问题的规模设置为30维,同时设 置 NFFES为1.0x105,表4反映了五种算法对于两个问题的优化结果,可以看到在两个问题上不带 外部种群的PADE的最终优化效果优于其他算法.图4反映了各种算法在两个问题的优化收敛曲 线.对比各条收敛曲线发现,不带外部种群的PADE在两个实际问题上的优化收敛速度上也快于 其他算法 4.3算法性能分析 PADE算法的算法结构中,参数的自适应的策略使待个体中较好的参数设置信息得以保留, 使得算法自适应的朝着全局最优的方向进化.同时,使用 current-to- pbest策略使得算法可以 国利技记文在线 http://www.paper.edu.cn 更好地向最优点收敛,使得算法具有很强的开采性.但是如果仅仅局限于这个策略将导致算法 的全局搜索能力降低、使得算法较易陷入局部收敛无法跳岀.算法中使用DPBⅹ-α算子的优势 就在于它可以使得变异的子代个体具有均匀的概率分布在当前最优个体与基向量之间,很好地 平襖了算法的勘探性和开采性,因此使得算法无论是对于单峰问题还是多峰问题都具有较好的 求解能力 对于高维的问题,规模大小为400的种群在100维的求解空间下的种群多样性显得不足,因此 添加外部种群可以适当的增加种群多样性,使得变异操作时基向量与差分向量的选择更加宽阔 冋时,针对多峰问题,高维情况下含有大量的局部最优点,因此一般的演化算法难以获得好的求 解效果,PADE的外部种群保留了种群中被淘汰的个体,这些个体参与到差分变异中可以增加和 群多样性从而促使算法跳出局部最优点,向全局最优点逼近.另外,对于实际优化问题,PADE算 法同样表现最优,表明了新算法的实际有效性.对于文中给出的两个实际问题,两者的问题规模 较小(6维与30维),因此不带外部种群的PADE算法表现优于带外部种群的PADE算法 5结论 本文提出一神基于DPBX-α算子的新型差分进化算法PADE.其参数采用自适应调整策略. 通过实验证明,PADE可以很好平衡算法中的各个策略,对于13组经典测试函数具有很好的求解 效果.同时,在PADE中,加入外部种群可以显著增加种群信息多样性,实验证明,加入外部和群 的PADE对于求解高维问题具有很好的优化效果.最后,选取了两个复杂的实际问题利用新算法 对其进行优化求解,实验结果表明了PADE求解实际问题的有效性. 本文中对于DPBⅹ-a中α与β设置为定值,并未作自适应的研究,虽然算法已经取得了很好 的效果,但是仍然具有较大的研究空间.对于α与β的参数设置进行自适应方面的改进将进一步 展开 参考文献( References) 1 Das S, Suganthan P N. 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