论文研究-基于差分进化-牛顿拉夫逊算法三相潮流计算研究 .pdf

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基于差分进化-牛顿拉夫逊算法三相潮流计算研究,罗艳红,于博,本文主要考虑解决潮流计算初值选取问题的牛顿类潮流计算问题。提出基于仿射不变量的牛顿法潮流计算收敛性定理,并给出了严谨的证
山国武技记文在 设初值修正量为A()A()…A(),并满足 (()-△()()-△()…()-△()= (()-△()()-4()…()-△( (()-A()()4()…()A() 对上式中的各个方程分别按泰勒级数展丌,并忽咯包含△()△()…△()的 次项及高次项,则可得牛顿法的修正方程为 (()()…() 式中:为函数对自变量的偏导数在点(()()…()处的值,定 义=为潮流雅克比( 矩阵。通过上式可以求出各变量修正量,修正方程为: )-△ 它以曲线=()的点(()的切线与轴的交点去逼近曲线=() 轴的交点,即()=的解 牛顿法的基本数学原理 将三相潮流计算所涉及的所有元件及线路的三相参数转换为三序参数,同时将各种 处理成相应的节点类型进行接入。以下所述计算均为针对三序分量进行的,特殊情况另 外指出。 牛顿法解三相潮流所求解的方稈为: 在直角坐标系下,式()中,△为迭代修正量 △=△△△ △△△△△△ △△△(△ △ 其,对节点,有 山国武技记文在 ∑ )∑( )+∑(+ 对节点,有 ∑( )-∑(+ 式中 代表正序、负序、零序:、、为节点的各 序有功功率、无功功率、电压,且 +;Δ,Δ,△分别为各序迭代过程 中的有功功率、无功功率、电压修正量 分别代表节点、之间的三相电导和电 纳;为系统的节点数。 在式()中,为雅可比矩阵。以三相参数表示时,在直角坐标系下其形式如下 式()中 式中:Δ,Δ分别为电压各相实轴分量和虚轴分量的变化量:则有电压幅值为 电压相角为O, 三相潮流计算中雅可比矩阵的三序参数形式 雅可比矩阵是牛顿法的关键所在,认真分析雅克比矩阵的特点十分重要。前一节中详细 给出∫雅克比矩阵的三相参数形式,本节只体描述三相参数转换为三序参数的形式。将式 ()转换为三序参数后可表小如 山国武技记文在 矩阵中的维数已在式()中示意性的给出。同时将其化简可求得各序首次迭代时的 雅可比矩阵,此雅可匕矩阵即为迭代雅可比矩阵迭代。这就使得雅可比矩阵为稀疏的矩 阵,从而可以降低潮流计算迭代时的复杂度。通常在电力系统正常运行时,各节点公在额定 电压附近运行,各节点电压的相角差不会很人。这样,初值可采用“平起动”方式,即 ()=[]()=[] 基于仿射不变量的牛顿类潮流计算初值选取定理 潮流计算不收敛大致原因有两方面:()原因之一是所采取的计算方法不够完善,求 不出解,此时可以通过提高计算方法的收敛性来获得淸流的解;()原因之二就是该方程 组木身可能不存在实数解,这时就需要调整变压器分接头、发电札出力甚至可能切除部分负 荷等措施,使系统参数满足有可行解。所以,期望在初始条件合埋的情况下,潮沇算法就能 给出正确的潮流解,在无解时,能给岀最靠近岀发条件的解,并且能够提供参数调整的方案 及相关的数据,供研究人员参考。 当前牛顿类潮流计算收敛性定理 针对牛顿类方法计算三相潮流时的初值敏感问题,现有收敛性定理如下: 定理:对淛流方程,三序电压幅值初值近似及经过次牛顿法厐成的雅可比矩阵满 足下列条件 在电压幅值的邻域δ内,其中,存在并满足李普希茨条件 其中β,η,γ都是实数,并且溯流计算收敛算子P满足如卜条件 m7≤ 则潮流方程于δ内有解,且牛顿潮流计算的解序列收敛于 山国武技记文在 该定理可在三相潮流计算之前,评价所选各序初值能否使各序潮流方程收敛,进而判断 能否使该三相潮沇方程是否收敛。针对牛顿类算法的局部收敛特性,降低了初值选取的难度, 避免了不必要的计算。 基于仿射不变量的牛顿类潮流计算收敛定理 上一节中所提的牛顿类潮流计算收敛定理,是针对 法迭代程序: 所提出的。从此迭代程序可以看到,若对做仿射变换 其中∈ 为非奇异 矩阵,则 ,这说明 法迭代 序列{}在仿射变换下是不变量,因而其收敛性与发散性不变,然而牛顿类的收敛定理 的条件却不是仿射不变量,而适当选择,对映象 定理条件却可能满足。 故能够满足牛顿关收敛定理的条件,因此, 法迭代序列{}收敛。此例 说明如果把收敛定理的条件也变成具有仿射不变量性质的条件,则可扩大收敛定理的牧敛 域,下面提岀基于仿射不变量的牛顿类潮流计算收敛定理。 定理:假设c)在凸集c上.可导,经过次牛顿法迭代后的 雅克比矩阵为;若存在电压初值∈使 非奇异并且满足 7 其中Oη是实数。针对潮流方程 ,若潮流计算收敛性算子满足如下条件: 77 且令 则牛顿迭代产生的序列 c并且收敛到 在 ∩中的唯一解。 推论:对任何非奇异的∈(),若映象满足定理的全部条件,则映象也必 满足定理的条件。 由推论看到在定理中,≤B()y(),即是β()y()的极小值,这说明判 断牛顿法是否收敛定理比定理好用 从牛顿法收敛定埋看到,只要初值选得使定理条件满足,就可以通过达代公式 求得方程()=的解。本文中我们给出一种只需要根据每一步的选代计算信息 就可以判定迭代初值是否能够使澚流方稈收敛的方法。 若令‖ (=7,对任何∈,∈c及∈[ 山国武技记文在 只要ωm<,就有{}收敛到,于是 (--(+( -+(-(-) O)7 当=时得 这里给出了收敛定理成立的一个必要条件,一般有 实际计算时我们可以快速的检验是否满足定理条件。只要检验是否成立即可, 如果不成立就说明所选的初值不适合,那么如何选出满足要求的初值,下节中会介绍 基于差分进化算法的牛顿类初值选取方法。 定理的仿真结果与分析 本文选取 标准节点系统对定理进行仿真分析 先将各系统所给三相数据处理为三序数据,其中正序和负序为对称序系统,零序为一组相等 的序系统,因此无论最初的系统参数是否平衡,转化为三组三序系统可以只处理相三序。 初值可设定如下式,()=()+(),()=[ ()=[](=…) 表示正序、负序、零序,计算各序潮流计 算收敛算了及各序潮流方程的收敛性。初值采取“平启动¨方式吋三相平衡,故只存在正 序。仿真结果如表所示。 表定理标准节点仿具 测试系统 收敛 收敛 收敛 收敛 收敛性 不存在 不存在 不存在 不存在 不存在 不存在 不存在 不存在 在针对标准标准节点仿真时,由表可知计算所得的各序潮流计算收敛算子P均 山国武技记文在 小于,且此时牛顿类潮流计算方程收敛,符合本文的改进定理 为验证在不收敛情况下定理的有效性,我们针对当前含分布式电源的配电网中普遍 存在的电网结构辐射状转为环状的问题,把网终参数依据实际情况做了一些修改ε在 标准节点系统进行仿真时,三相/值均进行了相同程度的适当放大,其取值范围为( )。节点各序电压初值()=()+(),此时仿真结果如表所示。表中≠ 表示不存在的意思。 表 节点系统不同初值下的收敛性 定理判断实际敛 初值 收敛算子 各序敛散性 敛散性散性 发散 不存在 发散 发散 不存在 发散 不存在 发散 发散 不存在 收敛 不存在 收敛 收敛 不存在 收敛 不存在 收敛 收敛 不有在 收敛 不存在 收敛 收敛 不存在 收敛 不存在 收敛 收敛 不存在 将定理以及简易不收敛判别公式在 标准节点系统给定三相平衡状态卜的三 序电压初值进行了次仿真计算,并得到了对应的潮流计算收敛算了的值和收敛性。 由表可以看出,三序潮流方程中只要止序不收敛,那么就由定理判断可认为所 选初值使该三相潮流方程不收敛,事实上该初值也桷实不能使该潮流计算方程收敛。这就证 明了三相平衡的情況下定理是正确的。潮流初值不收敛简易判定条件进过分析也得到了 认证,如表所示,有效可行。 下面将定理在 标准节点系统给定三相不平衡状态下的三序电压初值进行 次仿真计算,并求解出定理以及定理相应的潮流计算收敛算子和p的值以及 各自所判断的初值收敛性,将结果进行对比分析,如表所示 山国武技记文在 表 系统不同初值下的收敛性对比 收敛算子收敛算子 x定理定理定理定理 初值 各序敛散各序敛散判断敛散判断敛散际敛 散性 性 性 性 性 发散发散 发散 发散 发散发散 发散 发散 发散 发散 发散 发散 收敛 发散发散 发散 发散 发散 发散 收敛 收敛 收敛 发散收敛 收敛 收敛 收敛 发散 收敛 收敛 收敛 发散 收敛 收敛 收敛 收敛 发散 发散 收敛 收敛 发散发散 发散 收敛 收敛 收敛1「收敛 收敛收敛收敛收敛收敛 收敛收敛 收敛]「收敛 收敛 收敛 收敛收敛 收敛 收敛 收敛 分析表小可以发现,在三相不平衡的情况下,潮流计算收敛算子仅仅是初值( 使潮流方程收敛在真解的充分不必要条件。即当初值使P<,则此初值必然 使该序的牛顿类潮流计算收敛,但是如果潮流计算收敛算」稍大于牛顿类潮流计算也 可能收敛。并且三序潮流方程中只要其中一序不收敛,那么就由定理判断可认为所选初 值使该三相潮流方程不收敛,事实上该初值也确实不能使该溎流计算方程收敛。这就证明了 三相参数不平衡的情况下定理是正确的。与此同时,还可以看到定理与定理的 收敛结果对比,当对于同一初值,用定理判断某序不收敛时,实际结果不一定是不收敛 的,原因是用定理判断初值的敛散性时,收敛域太小;用定理判断就可能直接得出 是收敛的这一结果,实际上也是收敛,与实际情况相符,可见定理将定理的收敛域 进行了扩展,判断初值是否收敛更加准确。 综合表和表,可知潮流计算收敛算子是初值()使淘流方程收敛在真解 的充分不必要条件,并且不管三相参数是否平衡,该定理均适用。 山国武技记文在 基于差分进化算法的潮流计算最优初值选取方法 算法的提出 由于差分进化算法的寻优能力强,可以用来在潮沇计算中进行初值选取。通过与基于仿 射不变量的牛顿类潮沇计算收敛定理相结合,得到ˉ种可以快速,准确的潮沇计算初值选取 方法 目标函数是使值最小,基于差分进化算法的湖流计算初值选择问题可以写作如下非线 性最优化问题的数学模型 其中()为牛顿法潮流方程组,为了遥免差分进化算法出现早熟的现象,我们在交 叉操作等步骤加入自适应算子。以卜给出了差分进化算法寻找最优解的详细的步骤 步骤:在差分进化算法中,初始化规模为的群体,随节点数的增多响增多, 以直角坐标形式表示节点的电压为 上式中 分别表示正序、负序及零序,节点电压的解被编码为差分进化算法中的向 量,以相正序分量为例 其中 .c代表了第个节点, 代表了第个目标向量。在差分进化算法中的向量代表了牛顿法三相潮流计算中的电压序 分量肜式初值,并且该向量服从」最优化问题的约束。 步骤:采用适应度函数对群体所有向量进行评估,适应度函数定义为 分别计算每个向量的适应值,保存适应度最大的向量,若有适应度大于的向量则 直接将此向量作为。由于每个向量的适应度变化相对较小,适应度彼此比较接近,那么 个体进入配对库的几率相当,从而使进化呈现停顿状态,为克服早熟现象采用线性定标原则 定标后的适应度函数计算公式为 其中a= 是初始适应 度的均值,是初始适应度最小值,是初始适应度最大值。 步骤:变异操作 对于任意一个目标向量 表示第次迭代的第个目标向量,按照下面的公式 可以通过使用 策略生成变异向量:

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