雅可比联合对角化是一种数学算法，用于将一组矩阵通过某种相似变换转化为对角矩阵的形式。在处理复值对称矩阵时，这种技术尤其有用，因为它们在许多信号处理和数据分析的应用中出现。例如，在独立分量分析（ICA）和盲源分离（BSS）中，雅可比联合对角化是一种重要的工具。文章中提到的复值对称矩阵的雅可比联合对角化算法是该领域的一项新的研究工作。
我们需要了解什么是联合对角化问题。联合对角化（JD）问题是指找到一个对角化器，使得一组目标矩阵具有共同的对角化结构。对于实值对称矩阵来说，这是一个相对容易解决的问题。但对于复值对称矩阵，这个问题变得更加复杂，因为它们在伪协方差矩阵的不规则复杂信号或有时在张量分解问题中出现。
文章中提到的王可和龚晓峰的研究工作，主要是围绕两种雅可比联合对角化算法展开的。在现有的复值联合对角化问题的算法中，虽然已经有很多尝试，但针对复值对称矩阵的算法相对较少。他们提出的算法，基于LU或LQ分解的雅可比旋转矩阵，通过适当的参数化方法，用一系列简单的三角形或酉矩阵序列来表示对角化器矩阵，这些矩阵仅依赖于一个或两个参数。这样，高维最小化问题就可以通过迭代方式转化为一系列简单的低维问题。
这些方法与之前的方法相比，在数值模拟中展示出了更好的性能，这表明王可和龚晓峰所提出的算法具有一定的优势。
此外，联合对角化问题不仅在信号处理领域重要，在数据分析中同样扮演关键角色。在处理瞬时线性混合模型时，联合对角化可用于从观测中恢复源信号。假设源信号是非平稳且相互不相关的，那么它们的相关矩阵或四阶累积量具有联合对角化结构。具体来说，目标矩阵是实值对称的，联合对角化旨在找到一个对角化器，使得这些矩阵能够适应上述结构。为了解决这个问题，已经提出了很多联合对角化算法。例如，Souloumiac结合使用了吉文斯旋转和双曲旋转来实现联合对角化，而Afsar提出了一种基于雅可比旋转的算法。
在信号和信息处理领域，雅可比型联合对角化算法通过减少问题的复杂度，使得在实际应用中更为有效。这包括但不限于信号源的分离和特征提取，以及在机器学习中寻找独立分量。王可和龚晓峰的研究为处理复值对称矩阵的联合对角化问题提供了新的视角和解决方案。
