MATLAB矩阵分解-MATLAB矩阵分解.doc

MATLAB 矩阵分解 MATLAB 矩阵分解是指根据一定的原理用某种算法将一个矩阵分解成若干个矩阵的乘积。常见的矩阵分解有 LU 分解、QR 分解、Cholesky 分解、Schur 分解、Hessenberg 分解、奇异分解等。 1. LU 分解（三角分解） LU 分解是将一个矩阵表示为一个交换下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积形式。MATLAB 提供的 lu 函数用于对矩阵进行 LU 分解，其调用格式为：[L,U]=lu(X)：产生一个上三角阵 U 和一个变换形式的下三角阵 L（行交换），使之满足 X=LU。注意，这里的矩阵 X 必须是方阵。 LU 分解可以用于解决线性方程组 Ax=b，解 x=U(Lb) 或 x=U(LPb)，这样可以大大提高运算速度。 2. QR 分解（正交变换） QR 分解是将矩阵 X 分解为一个正交矩阵 Q 和一个上三角矩阵 R 的乘积形式。QR 分解只能对方阵进行。MATLAB 的函数 qr 可用于对矩阵进行 QR 分解，其调用格式为：[Q,R]=qr(X)：产生一个一个正交矩阵 Q 和一个上三角矩阵 R，使之满足 X=QR。 QR 分解可以用于解决线性方程组 Ax=b，解 x=R(Qb) 或 x=E(R(Qb))。 3. Cholesky 分解 Cholesky 分解是将矩阵 X 分解成一个下三角矩阵和上三角矩阵的乘积。设上三角矩阵为 R，则下三角矩阵为其转置，即 X=R'R。MATLAB 函数 chol(X)用于对矩阵 X 进行 Cholesky 分解，其调用格式为：R=chol(X)：产生一个上三角阵 R，使 R'R=X。 Cholesky 分解可以用于解决线性方程组 Ax=b，解 x=R(R'b)。 4. Schur 分解 Schur 分解是将任意一个 n 阶方阵 X 分解为 X=URU'，其中 U 为酉矩阵，R为上三角 Schur 矩阵且其主对角线上的元素为 X 的特征值。 5. Hessenberg 分解 Hessenberg 分解是将任意一个 n 阶方阵 X 分解为 X=PHP'，其中 P 为酉矩阵，H 的第一子对角线下的元素均为 0，即 H 为 Hessenberg 矩阵。 MATLAB 矩阵分解是数值分析和线性代数的重要内容，对于解决线性方程组、特征值问题等具有重要意义。