偏序半环上的半拟序格 (2010年)

偏序半环是一种代数结构，在数学与计算机科学领域有着广泛的应用。半拟序是定义在半环上的特殊二元关系，具备了自反性和反对称性，但不一定满足传递性。格（lattice）是数学中用来描述具有某种特定结构的集合的理论，完备格是指集合中任意子集都有上确界和下确界的格，而分配格是指满足分配律的格。 在这篇论文中，作者首先定义了半拟序以及半拟链的概念，然后构造了在偏序半环上半拟序集的格，证明了这个格是完备的分配格。在这个过程中，作者引入了偏序半环的概念，并在偏序半环上定义了半拟序和拟序的概念。拟序是在半拟序基础上进一步满足传递性的偏序关系。通过定义闭半拟链的长度，并讨论了模O的闭半拟链的性质，为证明完备性打下了基础。 文章接着给出了偏序半环的两个特殊的半拟序格：拟序集构成的格与偏序集构成的格，并探讨了它们之间的关系。拟序集构成的格是所有满足拟序关系的子集构成的集合；而偏序集构成的格是所有满足偏序关系的子集构成的集合。 在预备知识部分，作者详细定义了闭半拟链的概念，并给出了半拟链长度的定义。此外，还讨论了模O的闭半拟链长度为零的情况，并给出了其性质。这些定义和性质为进一步探讨偏序半环上半拟序集构成的格提供了基础。 文章引入了半拟链的首项和尾项的概念，并给出了闭半拟链的定义。特别地，当一个半拟链的首项与尾项相同时，该半拟链被称为闭的。这种闭半拟链的特性对于构建完备格的证明是必要的。 接着，作者定义了拟序与半拟序，并分别给出了它们的数学表达式。通过这些定义，可以更好地理解偏序半环上半拟序的数学结构。特别地，半拟序是满足自反性、反对称性以及某些特定闭合性质的关系。 文章还讨论了如何将拟序扩张为半拟序，给出了一个拟序扩张为半拟序的充分必要条件，并通过引理证明了半拟序集构成的集合是一个格。在此基础上，作者进一步证明了这是一个完备的分配格，并给出了详细的证明过程。 本文详细探讨了偏序半环上的半拟序格的完备性与分配性质，并通过对特殊半拟序关系的研究，加深了对偏序半环及其结构的认识。这对于数学与计算机科学中涉及偏序结构的相关问题具有重要的理论意义。同时，通过这些理论研究，可以更好地理解复杂系统中的序关系及其性质，为设计算法和处理实际问题提供了理论依据。