论文研究-基于波动率分解的期权定价.pdf

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论文研究-基于波动率分解的期权定价.pdf,  文章通过将标的资产波动率分解为不相关的两个组成部分,构建了期权定价模型,并求解了相应的期权定价公式.分析新模型在标的资产收益率的偏度与峰度、隐含波动率等方面的重要特征,并利用市场数据对模型进行了拟合.研究表明:将波动率进行分解,以适应于其组件不同的运动过程,从而扩展了模型的适用场景;利用波动率组件的相互作用,即使在波动率参数较低时,也可以令短期
第8期 周仁才:基于波动率分解的期权定价 1921 dst= rstdt-vVitsedWi+vv2tS,dW 1t=[b(V1)-1]dt+a(V1)d6 dvet=n(v2)-2] dt+m(v2)dB, 其中,r为无风险利率,亚1和Φ2分别为波动率组件V和V的风险溢价,W1tW2,Bt,B2t分别为风险中 性概率测度下的标准布朗运动.于是,期权定价的PDE方程为 OF oF 1 a2F 1 02F OF 102F at rF+rSt as+21ta2+2 2tB52+b(V1)-重1 20F 82F 02F (v2)-Φ aV 2+ SAvI P1+Vv2tStm av 对于一般的动态过程,(⑤5)式难以获得解析解,只能利用 Monte carlo模拟或者有限差分这类方法得到数 值解但对于某些特定过程,(5)式可以求得封闭解.与 Heston模型一致,本文采用Cox, Ingersoll8和Ros2 提出的均值回复平方根过程来刻画波动率组件的变动,即 dvit=1(01-Vit)dt+g1VVitdBit dv2t-k2(02-V2t)dt+02VV2tdB 其中,k1,k2,61,62,O1,o2为常数.相关系数p1和p也为常数.根据Cox等24, Heston7和 Bates9, 针对此过程利用一般均衡可以推出波动率风险溢价为线性,即Φ1=AV,Φ2=λV.于是,在风险中性慨 率测度下,股票价格过程为 dSt=rstdt-vVit SedWit+vv2t S dW? dVit-k*(01-Vit)dt+o1VVitdBit dvt=k2(82-v2t)dt RA, ki=k1+A1, k*=k2+A2, 0i=k1 01/ki, 0%=k202/k%, Cov(dWit, dBit )=prdt, Cov(dW2t, dB*,) p2dt.令xt=n(S),可以得到如下定理一,相关证明见附录 定理1看涨期权的价格可以表示为, F(at, 01, 02, t, PI-K Pi (at, 01,02,t,, T,K)=5+ Re f;(xt,01,℃2,t,T:φ) 2丌J0 其中, f;(xr,℃1,v2,t,T;) Ci(T-t, o)+D, (T-t, u1+E; (T-t, )u2 +ip: Tt G()=m7+∑(b-09+4)7 1-9; D1(7,)、6 1-P1010+d,1 d 1T 1-916 E;(7,p) b;,2-P2020i+d3,2(1-e2r 1-9;,2e4,2T d,:=V(p201-b3)2-a2(2uy-) b;z-P20;9i+d;, j bj i-Pic: i-dj 1/2 1/2,az=k6,b1,=k一P20,b2,;=k,=1,2,j 从(7)式不难看出,当硝=σ2=四2=0时,波动率分解模型简化为 Heston模型;当σ1≠σ2时,整体 波动率Ⅳ—Ⅵ1+呈现岀非仿射性结构可见,通过波动率分解.有效地扩大了模型的适用场景,为利用线 性模型解决非线性问题提供了新途径.遵循上述方法,可以方便地将波动率进一步分解为三个或三个以上组 件的情形 1922 系统工程理论与实践 第38卷 3特征分析 3.1偏度与峰度 为了研究波动率分解模型下标的资产收益率的分冇特征,需要确定客观概率测度下股票价格的运动过 程.不失一般性,比照几何布朗运动,假定(1)式中股票瞬时收益率μ为常数μ,波动率的运动过程依然 满足(6)式.令股票持有期收益率+()=7-m,T=T-t,可以得到如下定理2,相关证明见附录 定理2持有期收益丬zt()的偏度函数与峰度函数分别为 Skewness(Zt(T)) BVkik2B Kurtis(z2(7)=3(1+0k 01G1-v1 Q 2k1k2b4 k1 k? (11) 其中 A=3(p1a1k2(O1(2e-67-2+k1r+k1rek)-01(-1+e-k+k1re-k)+ (02(2ek37-2+k27+k27e2)-22(-1+eb27+k27eb)) B=01k2(ek7+k1-1)+v1k2( +62k tke +2k1(1-e G;=(e2k+4e-k,kr-4ek-5+2k;)+412(e-kk22+4e-k,kr+6e-kr+2kT-6), Q:=(2e2k7+4ekk7-2)+42(e-kk272+2e6k7+2e-k7-2),=1,2 Das和 Sundaran1S指出对于短期而言,即使采用较高的波动率参数值作为输入, Heston模型也不能 产生较高程度的峰度;对于合理的波动率参数值, Heston模型在任何时间间隔都不能产生较高程度的峰度. 为了便于比较,参照Da和 Sundaram使用的模型参数,同时为了增加两个模型之间的可比性,针对波动 率分解模型参数作如下控制:1)波动率长期均值相同,即θ1+2=θ;2)波动率初始值相同,即1-v2=U; 3)波动率的波动率特性从长期来看一致,即σ1Vθ+mVB2=aV6,其中,p,k,6,,表示 Heston模型对 应的参数.利用公式(10),(1)求得偏度与峰度值见表1(波动率分解模型简称为VD, Heston模型简称为 HS 表1偏度,峰度计算结果 模型参数 偏度 峰度 模型 O1,k1,61,1, p2,k2,b2,U2,2 周 月 月 周月三月 HS 0,1,0.02,0.1,0.015 0.0130.0510.131 O,1,0.002,0.3,0.01 0,1,0.018,0.005.0.005 0.0750.3000.734 IIS 0,1,0.02,0.1,0.02 00.0100.0390.104 0,1,0.002,03,0.015 0,1,0018,0005.0.005 00.0640.2600.665 IIS 0,5,0.02,0.1,0.015 000 00.0120.0380.061 VD 0,5,0.002,0.3,0.01 0,5,0.018,0.001,0.005 000000 00.0680.2020.258 HS 0,5,0.02,0.1,0.02 0 00.0090.0310.054 0,5,0.002,0.3,0.015 0,5,0.018,0.001.0.005 0.0590.1900.277 HS 0.25,1,0.02,0.1,0.015 0.042-0.085-0.1370.0140.0580.149 VD 0.25,1,0.002,0.3,0.01-0.25,1,0.018.0.005,0.005-0.084-0.166-0.2520.0850.3380.832 HS-0.25,1,0.02.0.1,0.02 -0.037-0.075-0.1220.0110.0440.118 VD-0.25,1,0.002,0.3,0.015-0.25,1,0.018.0.005,0.0050.0820.165-0.2570.0720.2930.754 HS 0.25,5.0.02,0.1,0.015 0.041-0.074-0.0960.0130.0430.070 VD0.25,5,0.002,0.3,0.01-0.25,5,0.018.0.001,0.0050.0790.1280.1270.0770.2300.300 HS 0.25,5,0.02,0.1,0.02 0.036-0.067-0.0910.0100.0350.063 0.25,5,0.002,0.3,0.0150.25,5,0.018.0.001,0.0050.0780.1340.1460.0670.2160.321 HS 0,1,0.02,0.4,0.015 0 0 0.2010.8192.101 VD 0,1,0.002,0.6,0.01 0,1,0.018,0.222.0.005 0 0.3211.2873.181 HS-0.25,1,0.02,0.4,0.015 0.168-0.340-0.5480.2270.9232.380 VD 0.25,1,0.002,0.6,0.010.25,1,0.018.0.222,0.0050.1990.3960.6180.3611.4513.603 第8期 周仁才:基于波动率分解的期权定价 1923 从表1可以看出,对于偏度特征,当ρ=p1=ρ2=0,即波动率与股票价格不相关时,两个模型产生的偏 度均为0.当波动率与股票价格负相关时,偏度小于0.这就是所谓的杠杆效应.从(10)式也可用看出,波动 率分解模型保留了 Heston模型在偏度上针对ρ的对称性.而对于峰度,在保留整体波动率属性不变的情况 下,波动率分解模型可以通过两个波动率组件之间的不同属性,来增加短期收益率的峰度值,从而提高模型 的解释能力,这有敚地克服了随机波动率模型的不足.比如,在p,k,O,σ,U分别取0,1,0.02,0.1,0.015时, Weston模型对于周周期、月周期及三月周期,产生的峰度值分别仅为0.013,0.051和0.131,而采用波动率 分解模型.周周期产生的峰度大幅提高到0.075,月周期及三月周期产生的峰度也分别达到0.3和0.734,是 Heston模型的5倍以上.由此可见,即使对于较低的波动率參数σ,波动率分解模型仍然能够在短周期內产 生明显旳峰度.当σ増加到0.4时, Heston模型和波动蕐分解模型产生的峰度值均提高,周周期峰度 Heston 模型达到0.201.而方差分解模型为0.321.从上表还可以看出,参数k对偏度与峰度影响不大,ρ的绝对值增 加将带来偏度与峰度的增加. 以上对比表明,相对于 Heston模型,波动率分解模型明显提高了在短期收益礻峰度值指标上的表现 32隐含波动率 为了求得隐含波动率,需要得到在风险中性测度下模型的参数值,这需要结合具体市场数据进行分析,而 此处考察的是模型产生的隐含波动率的形状特征,因此与Das和 Sundaram一样,我们采用上面偏度与 峰度分析中使用的参数图1,图2和图3展示了在两个模型下波动率曲线的不同特征.其中,图1考察了 波动率参数值比较低的情况,从图中可以看出,相对于 Heston模型,波动率分解模型产生出更加明显的波动 率微笑曲线;同时,由于股票价格与波动率不相关,两个模型产生的波动率曲线都不存在偏斜,但曲线深度差 异明显.对于短期期权更是如此,比如对于一月期期权, Heston模型产生的波动率微笑深度为0.4%,而波动 率分解模型产生的波动率微笑深度为1.5%,随着到期日的增加,两者差别变小.图2在图1的基础上考察 了股票价格与波动率负相关的情况,两个模型产生的波动率曲线都出现了偏斜,针对一月期期权,波动率分 解模型得到的波动率微笑深度为2%,而 Heston模型仅为0.8%,随肴到期日的増加,两者差别同样变小.图 3考察了波动率参数值比较高的情况,对于短期的一月期期权, Heston模型自身就能产生3.1%的波动率微 笑深度:而波动率分解模型为3.9%,差异不大·可见波动率分解模型针对短期期权在低波动率参数情况下获 得了较高的波动率微笑深度,这有效地解决了 Heston模型的问题,同时,随着到期日以及波动率参数增加, Heston模型解释能力増强的情况下,波动礻分解模型与之也不会产生过大差异,这表明波动率分解模型更好 地解释了市场中观察的波动曲线特征 可见相对于 Heston模型,波动率分解模型明显提高∫在波动率微笑深度指标上的表现. 图1中, Heston模型参数p,k,O,o,v分别为0,1,0.02,0.1.0.015,波动率分解模型的参数p1,k1,1, 1,v1,p2,k2,62,O2,v2分别为0,1,0.002,0.3,0.01,0,1,0.018,0.005,0.005.股票价格S0=100,无风险 利率r=0,期限分别为一月,三月和六月,执行价格K从90至110.图2中, Heston模型参数p=-0.25 波动率分解模型的参数p1=p2=-0.25,其余参数和图1相同.图3中, Heston模型参数σ=0.4,波动率 分解模型的参数σ1=0.6,σ2=0.22,其余参数和图1相同 145 0.125 0.120 一HS,=112 一HS,=1/12 U.115 VD.7=1阵 HS.=14 X--HS.1=1/4 一VD.T HS.T=1/2 0.11 01(5 919299495%69798991001011)2103104105106107t08109110 9091929394 798991001011021031c4105106107108109110 图1波动率参数较低的情况 图2价格与波动率负相关的情况 1924 系统工程理论与实践 第38卷 0.150 0.130 YD.T=1/4 x旧s,71/4 YD 71/2 09129995%97s9900101102103104105106107108199110 图3波动率參数较高的情况 4数值分析 在得到基于波动率分解的期权定价公式之后,就可以利用其对期权进行定价.首先,需要对模型参数进 行估计.这通常有两种方法:一是利用标的资产的历史数据进行时间序列分析,这种方法简单直观,但是,由 于金融市场存在时变性,历史数据的解释能力值得怀疑,同时,该方法只能得到客观概率测度下的模型参数, 为了得到风险中性穊率测度下的参数还必须佔计风险的市场价格,这是比较困难的工作;二是所谓的隐含参 数佔计法,即利用期权市场价格数据反推出模型参数,得到的结果直接是风险中性概率测度下的参数,因为 期权价格主要反映的是对于未来的预期而不是历史的状况,因此该方法得到的估值更有效,且要求的数据量 也低20.故本文采用第二种方法 在隐含参数估计过程中,需要解决模型价格和市场价格的误差最小化问题,即: min S( 92)=min>(Ci(Ki,I: KAT 2 其中!=(k1,,a1,P1,v1,k2,02,2,P2,u)为待估计的参数向量,(82(K2,T),C(1,T)分别表示执行 价格为K到期日为T;的期权的模型价格和市场价格.考虑到价格过程的随机性及非线性特性,本文采用 适应模拟退火算法”(ASΔ)进行计算.退火算法山 Metropolis等人提出,其思想来源于对固体物质退火过 程的模拟阅.在此基础上, Ingber利用统计度量更改控制参数开发出适应模拟退火算法,该算法以概率收敛 于全局最优解,可以方便地对非线性、随机性、非连续的目标函数进行处理2 为了对期权定价模型进行拟合,本文选取2016年12月6日上证50ETF期权收盘数据对模型参数进行 校准,这主要考虑到此时内地股票期权市场已经平稳运行了近两年时间,市场价格比较具备有效性,同时,该 日交易的期权合约比较多,可以增加拟合的样本数.当日,市场共有65个认购期权合约进行交易,这些合约 到期日涵盖2016年12月份、2017年月1份、3月份及6月份.执行价格从1.908元至2.55元不等,当日 50ETF的收盘价为2.368元,采用一年期上海银行间拆借利率作为无风险利率γ=3.206%,选取模型参数 向量初值Ωo=(0.03,0.8,0.25,-1,0.08,0.2,0.2,0.25,-1.0.01).为了与 Heston模型进行对比,文中也对其进 行了参数估计,参数向量初值为Ω0=(0.03,10,0.25,-1,009).估计结果见表2 表2模型参数佔计结果 模型参数 模型检验:CM(K1,T)=BC;2(K2,T)+e VD 值 E 4.45390.02690.00010.08960.02070.9988451.570.99920.0005 82 P2 (0.002) 0.35810.11010.0123-0.00020.0015 HS h 0.9966360.390.99660.0008 6.12160.04340.20010.30050.0184(0.0)27) 从表2可以看出.采用 Heston模型估计的50ETF长期波动率均值为0.0434,均值回归速率为6.1216 第8期 周仁才:基于波动率分解的期权定价 1925 波动率的波动率为02001,50ETF价格和波动率相关性为-0.3005.采用波动率分解模型估计的波动率组件 1,V2的长期均值分别为0.0269和0.1101,均值回归速率分别为4.4539和0.3581,波动率的波动率分别为 0.0001和0.0123,与50TF价格的相关性分别为0.0896和0.0002,可见,波动率组V,V2之间存在较 大差异,ⅵ相对于V均值低且波动率小,但回归速率更大.表明V1组件具有更大的稳定性,这与 Bollerslev 等2关于两个风险源属性的推断吻合.波动率组件之间属性的明显差异,不仅验证了波动率分解方法的必 要性,也部分抵消了对于模型过度拟合的担心.从模型检验结果可以看出,波动率分解模型和 weston模型的 检验结果均十分显著,R2分别达到0.9992和0.9966:同时,利用波动率分解模型,残差平方和SSE指标从 Heston模型的0.0008降低为0.0005,说明其更有效地刻画了标的资产波动率背后的风险源,因此具有更强 的解释能力. 在模型参数校准的基础上,釆用2016年12月7日的上证50ETF认购期权收盘数据,通过比较模型定 价结果和市场实际价格的偏离程度来反映模型定价效率.当日上证50ETF的收盘价为2.375元.为了进行 比较,本文对BS模型也进行了验证,结果见表3 表3模型定价结果 期权名称 VD HS BS市场价格 APED(%) APEHS(%) APES(%) 认购12月2006A0.3690.3690.3690.36950.1353 0.1353 0.1353 认购12月205A0.320.320.320.3198 0.0625 0.0625 0.0625 认购12月2104A0.2710.2710.27110271 0.0369 人购12月2153A0.220.22220.22240.2228 0.3112 0.2693 0.1795 认购12月2202A0.17370.17370.7480.1752 0.8562 0.8562 0.2283 认购12月1957A0.4180.1180.1180.4183 0.0717 0.0717 0.0717 认购12月1908A0.4670.4670.4670.466 0.2146 0.2146 0.2146 人购12月2250A0.12790.12780.13040.1279 0.0782 1.9547 认购12月2299A0.08530.08490.08970.0832 2.524 2.0433 7.8125 认购3月2055A0.32560.32730.32680.3154 3.234 3.773 3.6145 认购3月2104A0.28090.28290.28260.2697 4.1528 4.8943 4.7831 人购3月2153A0.2384024070.24060.2257 5.6269 6.646 6.6017 认购3月2202A0.19870.2010.20160.1875 5.973 7.253.3 7.52 认购3月2250A0.16330.16560.16660.1531 6.6623 88178 认购了月2299A0.1:3090.1330.13470.123 6.1638 7.867 9.2457 认购12月2348A0.05040.04930.05630.0467 79229 5.567 20.5567 认购12月2397A0.0257002420.03180.0241 6.639 0.4149 31.9502 认购3月2348A0.10280.10450.10680.0935 9.9465 11.7647 14.2246 认购3月2397A0.0790.08030.0830.073 8.2192 10 13.6986 认购6月2153A0.26870270.26440.2508 76555 5.4226 认购6月220240.23420.23520.22930.2165 8.1755 86374 5.9122 认购6月2250A0.2030.20360.19780.1888 7.5212 7.839 4.7669 认购6月2299A0.1740.17410.16840.16 8.75 88125 5.25 认购6月2348A0.14790.14750.14210.1361 86701 83762 4.4085 认购6月2397A0.12160.12380.11880.115 8.821 8.1223 3.7555 认购12月2446A0.01110.00970.0160.0113 1.7699 14.1593 认购3月21640.05910.06020.06330.0565 5.1327 6.5187 12.0351 认购6月2446A0.10420.10290.09840.09489.9156 85443 3.797 认购1月225040.13840.13910.14310.1344 2.9762 3.497 6.4732 认购1月2299A0.10130.10180.10730.0973 4.111 4.6249 10.2775 认购1月234840.07030.07030.07710.0665 5.7143 5.7143 15.9398 认购1月2397A0.0460.04560.05290.0438 5.0228 4.1096 20.7 认购1月2446A0.02830.02750.03460.0281 0.7117 2.1352 23.1317 认购12月2495A0.0040.00310.00710.048 16.6667 35.4167 479167 认购1月2495A0.01630.01550.02160.0186 12.3656 16.6667 16.129 1926 系统工程理论与实践 第38卷 表3(续) 期权名称 VD HS BS市场价格 APEVD(‰) APERS(%) APES( 认购3月2495A0.04370.0440.04730.0418 4.5455 5.2632 13.1579 认购6月2495A0.08630.08470.08070.0804 7.383 5.3483 0.3731 认购12月23000.08450.08410.0890.0835 1.1976 0.7186 认购12月23500.04920.04810.05520.0458 7.4236 5.0218 20.524 认购12月24000.02460.0230.03060.0225 9.3:3 2.2222 认购12月24500.01030.0090.0150.0097 7.2165 54.6392 认购12月2500.00360.00280.00650.00 37.7778 44.4444 认购1月23000.10060.10110.10660.0961 4.6826 5.2029 10.9261 认购1月23500.06920.06920.0760.0645 7.2868 7.2868 178295 认购1月24000.04470.04430.05160.0425 4.2353 21.4118 认购1月24500.02710.0263003340.0278 2.518 5.3957 20.1439 认购1月25000.01540.01450.02050.0182 153846 20.3297 12.6374 认购3月23000.13030.1324013410.1202 8.4027 10.1498 11.5641 认购3月23500.10180.10350.10570.0926 9.9352 11.7711 14.1469 认购3月24000.0770.078900817 9.4366 11.1268 150704 认购3月24500.0580.05870.06180.0545 6.422 7.7064 13.3945 认购3月25000.04230.04260.04580.0404 4.703 5.4455 13.3663 认购6月23000.17350.17360.16790.1587 9.3258 9 5.7971 认购6月23500.11690.14650.14110.1311 9.5451 9.2168 5.2 认购6月24000.12330.12240.11750.1156 6.6609 5.8824 1.6436 认购6月24500.10260.10130.09680.0932 10.0858 8.691 3.8627 认购6月25000.08470.0830.0790.0784 5.8673 0.7653 认购12月25500.0010.00060.00240.0025 4 认购1月25500.00820.00740.01190.0114 28.070 350877 4.386 认购3月25500.03010.03010.03330.0298 1.0067 1.0067 11.745 认购6月25500.06920.0673006390.064 7.2868 4.3411 0.9302 认购12月22500.12790.12780.13040.12750.3137 0.2353 2.2745 认购1月22500.13840.13910.14310.1344 2.9762 3.497 6.4732 认购3月22500.16330.16560.16660.151 8.1457 9.6689 10.3311 认购6月225002030.20360.19780.1874 8.3244 8.6446 5.5496 均值 7.2605 8.4725 11.5152 表3中,APEvυ(%),APEs(%)及 APES(%)分別表示波动率分解模型, Heston模型及BS模型 的定价结果与市场价格的绝对百分比误差.从中可以看出,基于波动率分解的期权定价模型得到的期权价格 与市场价格的平均绝对百分比误差为72605%,远低于利用BS模型定价产生的误差115152%,也明显低 亍 Heston模型的误差8.4725%.同样、对模型进行检验发现,波动率分解模型β及其方差分别为0.9687和 0.0042, Heston模型β及其方差分别为0.9664和0.0045,两个模型均显著.但波动率分解模型的残差平方和 SSE为00019,低于 Heston模型的0.0022.由此可见,相对于 Heston模型及BS模型而言,波动率分解模 型的定价误差更小 5总结 本文构建了基于波动率分解的期权定价模型、通过将标的资产波动率分解为不相关的两个组成部分,引 入新的风险源,在此基础上求得了相应的期杈价格公式;分析了新模型在标的资产收益率的偏度与峰度、隐含 波动率等方面旳重要特征,并利用市场数据对模型进行了拟合.研究表明,波动率分解模型相对于以 Heston 模型为代表的单因素随机波动率模型而言,至少有如下优势:1)将波动率进行分解,模型可以适用于波动率 组件的不同运动过程,扩展了模型的适用场景.现实中,资产价格风险往往来源于多重因素,不同的风险因素 对应着不同的经济变量及公众预期,从而具有各自不同的运行轨迹,对整体风险采用单因素模型进行刻画可 能会忽略个体风险因素的特有性质因此,对波动率组件进行分解无疑提高了对资产价格刻画的精确度本文 第8期 周仁才:基于波动率分解的期权定价 1927 数值分析部分利用市场交易数据分解出的两个波动率组件之间性质差异明显,也进一步验证了波动率分解方 法的必要性.2现有随杋波动率模型较奷地描述了股票价格波动率的时变性、波动率聚集、杠杄效应等特生, 但也存在其固有缺陷,主要表现在针对短期期权,难以得到与市场一致的波动率曲线形状.本文将波动率进 行分解、通过波动率组件的相互作用,在波动率参数值较低时,针对短期投资仍能获得明显的收益率形态特 征,从而有敚地规避了现有随机波动率模型的缺陷.本文特征分析部分通过对比研究发现,相对于 Heston模 型,波动率分解模型明显提髙了在峰度值及波动率微笑深度等指标方面的表现.3)通过波动率分解,引入新 的风险源,使得模型具有更好的定价效率.数值分析部分利用市场交易数据对模型进行拟合,并利用拟合结 果对下一交易日的价格进行预测,从绝对百分比误差、残差平方和等指标可以看出,波动率分解模犁相对于 Heston模型及BS模型而言具有更小的误差.4) Heston模型是一个仿射结构随机波动率模型,其突出优点 在于不仅可以刻画波动率微笑,而且对于普通欧式期权可以得到封闭定价公式.本文提出的波动率分解模型 不仅保持了上述优势,还实现了对价格过程的更深层次刻画,事实上, Heston模型仅仅是其特殊形式.遵循 本文的方法,可以方便地将波动率进一步分解为三个或三个以上组件的情形.在波动率分解模型中,当组件 之间波动率参数不同时,整体波动率具有非仿射性,这为利用线性模型解决非线性问题提供了新的思路 本文的主要內容围绕着利用波动礻分解对期权进行建模,后续还可以在模型应用及实证方面进一步研 究.比如増加验证数据时间区间及对比模型的种类,加强对模型的检验分析;提取影响市场价格的指标变量, 利用主成分析法将其转换为波动率组件,输入模型预测价格行为等 参考文献 1 Black F, Scholes M. The pricing of options and corporate liabilities J. Journal of Political Economy, 1973, 81(3) 637-654 2 Merton R C. Option pricing when underlying stock returns are discontinuous[J. Journal of Financial Economics 1976,3:125-144. 阝3]吴恒煜,朱福敏,温金明.带杠杆效应的无穷纯跳肤Levy过程期权定价[].管理科学学报,2014,17(8):7494. Wu hy, zhu F M, Wen J M. Option pricing bascd on conditional infinite purc jump Levy processes with leverage effectJ. Journal of Management Sciences in China, 2014, 17(8): 74-94 ]王春峰,张驰,房振明.基于蒙特卡洺方法的跳跃噪音对欧式期权定价影晌叮].系统工稈,2016(2):40-44 Wang C F, Zhang C, Fang Z M. Jump noise impact on the European option pricing Based on Monte Carlo method J]. Systems Engineering, 2016(2 ):40-44 5 Cox J C, RosS S A. The valuation of options for alternative stochastic processJ. Journal of Financial Economics 1976,3:145-166 」 Derman e, Kani l. Riding on the smile小引.Risk,1994,7(2):3239 7 Dupire B. Pricing with smileJ. Risk, 1994, 7(1): 18-20 8 Rubinstein M. Implied binomial trees[J. Journal of Finance, 1994, 49(3): 771-818 9 Hull J C, White A D. The pricing of options on assct with stochastic procoss[J. Journal of Finance, 1994, 42(2) 281-300. 10 Wiggins J B Option values under stochastic volatility- Theory and empirical estimate.Journal of Financial Economics,1987,19:351-372 11 Scott L O Option pricing when the variance changes randomly: Theory, estimation and an application. Journal of Financial and Quantitative Analysis, 1987, 22(4):419-438 12 Stein E M, Stein J C. Stock price distributions with stochastic volatility: An analytic approach[J. Review of Financial Studies, 1991, 4(4):727 752 13 Christoffersen P, Jacobs K, Mimouni K. Volatility dynanics for the S&P500: Evidence froIn realized volatility daily returns, and option prices. Review of Financial Studies, 2010, 23(8):3141-3189 14 Durham G B. Risk-ncutral modeling with affine and nonaffine modclsJ. Journal of Financial Economctrics 2013,11(4):650681 15 Wu H C. Using fuzzy sets theory and Black-Scholes formula to generate pricing boundaries of European options Applied mathematics and Computation, 2007, 185: 136-146 16〗张茂军,奏学智,南江霞·基于三角直觉模糊数的欧式期权二叉树定价模型.系统工程理论与实践,2013,33(1):34-40. Zhang M j, Qin X Z, Nan J X. Binomial tree model of the European option pricing based on the triangular intuitionistic fuzzy numbersJ. Systems Engineering Theory Practice, 2013, 33(1):34-40 17 Heston S L. A closed-form solution for options with stochastic volatility with applications to bond and currency options. Review of Financial Studies, 1993, 6(2): 327-343 1928 系统工程理论与实践 第38卷 18 Das S R, Sundaram R K. Of smiles and smirks: A torm structurc pcrspcctivcJ. Journal of Financial and Quantitative Anal y sis, 1999, 34(2): 211-239 19 Bates D. Jumps and stochastic volatility: Exchange rate processes implicit in deutsche mark options[J. Review of Financial Studies, 1996, 9 (1):69-107 20 Bakshi G, Cao C, Chen Z W. 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Control and Cybernetics, 1996, 25(1) 33-54 附录 定理1证明由mt=ln(S),则期权价格PDE方程为 OF 1 02F 02F 0F1 02F t-5 ax +oVit ac +hi(81-vit (14) O,121O 02F .? t P1O1 Vit arav. t P202V2t Orav -rF+Ft=0 根据期权期望收益,与BS模型山及 Heston类似,令期权价格解的形式为: F t;1 Ke (15) 代入(14)式,可以得到P,P2需要满足的PDE方程为 02F 6P;1 02P aPi 02P a1 (16) a2p P op ap P101V1t +;(t+V2t) a r at 其中,j-1,2,v1-1/2,2--1/2,a-k0,b1x-k-P2,b2,-,-1,2 终值条件为1(xr.01,2,,T,K)-P2(mr,1,02,T,T,K)-1{mx21mK},K为期权执行价格.从(15) 式不难发现,P2就是股票价格过程为(7)式时,看涨期权在到期日处于价内的条件概率.同样,P1可看作当 股票价格过程满足如下(17)式时,看涨期权在到期日处于价内的条件概率 dS,=(r+Vit+12t)S,dt+vVitSidWit+vv2t Sidw: dVit=(R 0K-k Vit +P101Vit)dt+o1vVitdBit (1 dV2=(k262-k2V2+p202V2)dt+02yV(dB2 借鉴 Heston17釆用的方法,利用B,P2的特征函数求解令f1(x1,1,v2,t,T:),f2(xt,1,2,t,T;) 分别为P1,P的特征函数,它们满与P,P2相同的PDE方程式(16),且终值条件为:f1(xr,1,2.T,T;) f2(xn,1,v2,T,T;)=e,考虑到(16)式中系数的线性特性参考 Heston17,可以推测特征函数的解 为 f;(xt,℃1,℃2t,T;) C;(T-t,9)+D;(T-t,中)u1+E;(T-t中)v2+i (18) 代入其PDE方程,可以得到如下的普通微分方程组: 12+p011D)D3+21m-bD+ aD 0. OE +p2020iE E2+1i-b;,2E;+ 0. aCi taidI

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