设[m]和[n]是任意固定的非零整数且[(m n)(m-n)≠0]，[AlgΝ]是一个套代数，[δ]是[AlgΝ]上的一个自映射。证明了如果对任意的算子[A，][B∈AlgΝ]有[mδ(AB) nδ(BA)=mδ(A)B mAδ(B) nδ(B)A nBδ(A)]，则[δ]是一个导子。
《套代数上的[(m,n)]-导子》这篇论文主要探讨了套代数上的特殊类型导子——(m,n)-导子的概念及其性质。在数学的代数领域，特别是环论和代数几何中，导子是一个重要的概念，它在代数结构的分析和研究中扮演着核心角色。导子通常用来描述代数结构中的微分或导数行为。
文章定义了几个基础的代数映射类型。一个可加映射δ是导子，如果对于任何元素A和B属于代数M，满足δ(AB) = δ(A)B + Aδ(B)。这意味着导子具有Leibniz规则，即导子作用于乘积时，可以分配到乘积的两个因子上。如果满足δ(A^2) = δ(A)A + Aδ(A)，那么δ被称为Jordan导子，它在处理Jordan代数时特别有用。而Lie导子则是满足δ([A,B]) = δ(A)B - δ(B)A的映射，这里的[A,B]是Lie括号，反映了代数的Lie结构。
论文的核心是定义并研究(m,n)-导子。对于任意非零整数m和n，如果对于所有A和B在套代数AlgΝ中，有mδ(AB) + nδ(BA) = mδ(A)B + mAδ(B) + nδ(B)A + nBδ(A)，那么δ是一个(m,n)-导子。这个定义扩展了传统的导子概念，引入了额外的系数m和n来描述导子在乘法操作中的行为。值得注意的是，(1,-1)-导子就是Lie导子，而(1,0)-导子和(0,1)-导子都是普通的导子。此外，当m+n不等于0时，如果满足(m+n)δ(A^2) = 2mδ(A)A + 2nAδ(A)，则δ是(m,n)-Jordan导子。
作者通过严谨的数学推理和证明，展示了在套代数AlgΝ上，满足上述条件的(m,n)-导子实际上是一个可加导子，即它保持了加法运算的性质。套代数是一种特殊的代数结构，通常出现在Banach代数和Hilbert空间的理论中，特别是在算子代数的研究中。
该研究的背景包括Herstein、Brešar、Cusack等人的工作，他们分别在不同条件下证明了Jordan导子、Lie导子的内在性质。Vukman的工作则扩展到了(m,n)-Jordan导子，并在特定类型的代数上证明了(m,n)-Jordan导子也是导子。本篇论文的贡献在于它放松了之前的假设，不再要求导子具有可加性，依然能得出(m,n)-导子是可加导子的结论。
论文的成果对于理解套代数的结构、深入研究导子的性质以及可能的应用，如量子力学和算子理论等领域，都具有重要的理论价值。通过深入研究这些抽象代数对象，数学家能够更好地理解和描述复杂系统的行为，从而在理论物理、信息科学和其他相关领域提供更坚实的数学基础。
