论文研究-平移式柔性机器人的反馈跟踪控制.pdf

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论文研究-平移式柔性机器人的反馈跟踪控制.pdf,  本文考虑X-Y平移式柔性机器人控制系统.单杆负载柔性臂系统可以描述为分布参数模型,我们对系统提出了较为一般的控制策略,在机器人手臂的根部和自由端设计观测器和跟踪反馈控制器,并利用算子半群理论证明了负载柔性机器人系统在所采用的跟踪反馈控制下是全局渐近稳定的.
第5期 平移式柔性机器人的反馈跟踪控制 其中 重:=[,m,G,y?∈H,i=1,2;<φ,2>=/p1(z)92(a)d 在H中定义线性算子A如下: El y"(0) r (0) v ∈D(A) g() D(A)={∈H|9,,",y",)∈L2(0,4),(0)=0 于是方程(4)可写成空间H中的抽象二阶发展方程 d2g(t) d t2 +Ay(t)=bu(t) 其中 y(t,0 t, 4 0 g(t) y(t,) 0 定理1算子A:D(A)→H是闭稠定的非负自伴算子,并且A的预解式是紧的 证明显然D(A)=H对φv∈H,利用分部积分得 (AP,D)H=EI /"(=)s"(a)dr=(P, A)H 故A为H中的对称算子,而且 (4可)n=EI/()d≥0,v∈D(A) 因此A是非负的.而且不难证明 Range(A)=H,从而A是自伴的,当然是闭算子 运用5]的方法可以证得,算子A有可数无穷多本征值0=<A<A2<…<An<…→ o,并且An=O(n4).对于A∈P(A),记R(A,A)=(X-A)-1,那么 R(A师=∑ 更 ,9n)H yn, V∈H 其中pn为算子A的完全标准正交本征元,具有本征值入注意到An=O(n2),则立即可得出在 空间H中f(λ;A)为紧算子·证毕 2边界点反馈跟踪控制 系统工程理论与实践 1996年5月 现在我们考虑机器人柔性臂的输出反馈控制问题.控制的目的是为了使移动体的位移r(t) (,0)跟踪指定的位移cl(t),同时抑制杆件的横向振动.假设我们需要的轨迹状态为 y (),xa(t),0,l(t)2 控制的目的就是要求系统(5)的轨迹状态跟踪指定的轨迹线3(),即使得误差信号e(t)=3(t)-34(t) 尽可能小,显然反馈控制要利用此测量误差信号作为控制律的一部分,以便降低系统对用在动力学 模型中参数不精确的敏感性(见图2) yd 控制器 柔性臂 传感器/观测器 图2反馈控制结构 为此,我们考虑在臂的末端加力和力矩控制u2{()和u3(t),那么系统(4)变为 pi(t, r)+EIy(t,r)=0 (t,0)=0 mj(t,0)+EIy"(t,0)=u1(t) (7) Ely (t, 2-Mi(t, 7=u2(t) EIy(t, 0)+Ji(t, 0)=u3(t) 其中u1(t)即为系统(4)中的u(t) 于是我们可得到如下的误差二阶发展方程 e(t)+ae(t)=bu(t) 其中ya()由(6)定义,c(t)=(t)-v(t),B=(b1,b2,b3,b4),而b=b(参见(5)式,b2 0,1/m,O,02,b3=0,0,1/J,0r,b4=0,0,0,1/小r,U(t)=[1(t),n2(,u3(t),0.这里假设被 跟踪的移动体m的位移为匀速运动 如果给系统(4)配制如下观测器 z3(t)=(b2,e)H,z4(t)=(b3,e) 对这些观测量的误差信号作如下反馈控制 Z1 141 222 (+)=-6z3(1) (t)=-z4(t) 现在我们定义乘积空间H=D(A212)xH,令Y=[e,e],则由(8),(9)组成的闭环系统为 Y(t=Ar(t)+Br(t) (10) 第5期 平移式柔性机器人的反馈跟踪控制 51 其中线性算子A:H→,B:孔→礼定义如下 0 A a 0 D(4)=D(A)×D(A412) BY C1北 βi(t,1 ry'(t, y) 在空间孔中,引入下面能量内积 <Y1,y2>E=(Ae1,e2)H+(e1,e2)H+a1e1xe2 其中 =闻,n]T,Y2=闳,2r∈H,e;=[re、(),e(t;l,e(1);(,)∈H,=1,2 不难证明,空间升赋予内积(11)成为 Hilber空间 对Y=/e1∈,其能量范数为 lYE=(Ae, eH+(e, eH+a1a (12) 于是柔性臂误差跟踪系统的总能量为 E()=2Y=mn2()+Me2(4)+J(e(42)2 e2(t, r)dr+EI/(e") 3 0 上式第一项表示移动体m的动能,第二项表示臂末端负载所具有的动能,第三项表示末端负载所具 有的相对于质心的旋转动能,第四项表示柔性臂所具有的动能,第五项表示柔性臂的弹性势能,最后 项是由移动体m位移的跟踪误差引起的方向偏差能量 命题1关于系统(10),由(13)定义的能量函数E(t)沿(10)的古典解是t的非增函数 证明由(13)关于时间t求微商,得 de(t) (Ae(t),e(tH+e(t),e(tH+a1a (61u1+b2u2 +b313, eH+a1e (61, 0i -B(b2, 02-y(b3, eH Be2(t,n)-e(t,1)]2≤0 (14) 因此E()是时间t的非增函数 命题2令S为L的一个子空间,定义如下 {Y(t)∈|E()=0} 52 系统工程理论与实践 1996年5月 其中B(t)由(13)定义,则系统(10)在S中的唯一古典解为零解 证明若E(t)=0,由(14)易知 ie(+)=e(t,=e'(t,)=0 (15) 于是x(t)=e(t,1)=e(t,l)=0,t≥0因此系统(10)成为 (,)+EIy"(t,r)=0 e'(t,0)=0 (16 EIe(t,0=-ale EIe"(t,)=Ele"(t,1)=0 但根据e(t,r)=w(t,T)+x(t)及(15)得 p(t,r)+Elwt,r)=0 u(t20)=w)(t,0)=0 Elw(t,0==) (17) EIu"(t,1)=EIu"(t,1)=0 i(t,)=i(t,) 由分离变量法解(17)可得0(t,r)≡0,于是x(+)≡0,从而e(t,r)≡0,因此Y=[eh,e]≡0 证毕 定理2柔性臂反馈跟踪系统(10)中的算子A+B:升→咒是咒上某c压缩半群T(t)的 无穷小生成元 证明由命题1知A+B是H中的耗散算子.又由于iA为自伴算子,根据 Stone定理, A生成中的一个c酉算子群,于是对A>0,M-A有有界逆间,并且进一步可知(X-A)-1 为紧算子·因B是有界线性算子,于是B(-A)-1是紧算子.再利用A+B的耗散性可知1不 是算子B(X-A)-1的本征值,因此有 IX-A+B)-1=(X-A)-[-B(AM-4)-]-,入>0 这说明[X-(A+B)]:升→升是到上映射,故根据 Lummer-Phillips定理间,A+B在升中生 成一个c压缩半群r(t).证毕 下面,我们给出本文的主要结果 定理3柔性臂反偾跟踪控制系统(10)按升的范数(12)是全局渐近稳定的 证明由命题1及(13)可知,存在正常数d,使得‖Y()2=2E(0)<d2.由定理2知, +B是升中的稠定m-耗散算子,而预解式{XI-(A+B)1(λ>0)是升上的紧算子.这就 推出系统(10)对初值Y(0)∈D(4)和‖Y(0)川E<d的古典解在空间升中是预紧的(参见阿]第 241页,定理45),因此由 Lasalle不变性原理,可知对Y(0)∈D(A),‖Y(0)|lB<d的古典解Y(t) 渐近趋向于包含在S中的最大不变子空间,其中S由命题2所定义,但由命题2看到位于S中的 唯一古典解为零解·注意d>0是任意的,所以对任何Y(0)∈D(A),系统(10)的解Y(t),t≥0 总是渐近趋向于零,即柔性臂反馈跟踪控制系统(10)是全局渐近稳定的.证毕 (下转第107页) 第5期 纯林同龄的林齡面积分布结构的指标参数 107 当k=1时,则森林的面积永远保持不变.当k0>1时,则表示森林扩大生产,和o<1时, 则表示结构的面积减少 3结束语 上面我们对同齡纯林的林龄分布结构的主要指标参数给出了定义。精确计算公式。只要我们对 分布结构的变化过程建立数学模型,通过求解方程可以得结构的密度函数P(T,t)或S(k),则我们 就可以定义、计算描述结构数量特性,定量特性的既有静态又有动态的指标参数,各种指标参数从不 同的方面和角度描述了分布结构的特性,所有的指标参数组成了结构的指标体系.前面只对一些简单 的指示参数进行了定义并输出了精确的计算公式.而一些较为复杂动态的指标参数待讨论 参考文献 1林业部规划院.《森林资源动态预测模型及预测的研究》研究报告,1986,3 2郑治刚·森林资源预测模型及预测之一、之二、之三.森林资源管理,1986,6及1987,1,2 3宋健,子景元.人口控制论,科学出版社,1985. 上接第52页) 通过上面讨论可知,对平移式机器人的柔性臂的根部和末端的反馈跟踪控制,能达到使整个闭 环系统全局渐近稳定的目的.在实际对机器人的反馈嚴踪控制中,反馈信息还可通过在臂的末端安 装加速度计(以测出其角加速度和线加速度),在臂的根部安装应变片(以测得根部的接触力矩)来得 到.然后施加反馈力矩和剪切力来控制机器人关节转动方向和抑制臂的弹性振动 参考文獻 1 Cannon, R.H. Jr. and Schmitz, E, Initial experiments on the end-point control of a Fexible one-link. robot, Int J. Robotics Res, 1984, 3 (3): 62-75 2 Luo Z.H., direct Strain feedback control of fexible robot arms: new theoretical and experimental results, IEEE Trans. Auto Contr., 1993, 38(11: 1610-1622 3 Morgil, O, Orientation and Stabilization of a flexible beam attached to a rigid body planar motion, IEEE Trans. Auto. Control, 1991, 36(8): 953-962 4 Luo, Z.H. Kitamura N. and Guo B. Shear force feedback control of fexible robot arms. to appear in IEEE Trans. on Robotics and Automatic 5冯德兴,朱广田.一类弹性振动问题中主算子的谱特征科学通报,1981,(24):1473-1475 6 Pazy A. Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations, Springer-Verlag, New York, Berlin, Heidelberg Tokyo, 1983 7 Saperstone, S, Semidynamical Systems in Infinite Dimensional Space, New York, pringer-Verlag, 1981 S

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