离散振荡理论是数学中差分方程定性理论的一个分支，主要研究的是离散系统的振动行为。Ravi P. Agarwal等人的《离散振荡理论》一书深入探讨了带或不带延迟的差分方程，提出了差分方程振动的理论，并总结了该领域经典和最新的研究成果。
在差分方程的研究中，涉及的概念和理论主要包括：
1. 振动理论：研究差分方程解的振动性质，即解是否会在某些区间内出现无限次的振荡。在差分方程的定性理论中，了解解的振动行为对于揭示动态系统的长期行为至关重要。
2. 斯图姆理论：斯图姆理论（Sturmian Theory）是研究线性二阶常微分方程解零点分布的一套方法，而在离散振荡理论中，斯图姆理论的概念被推广至差分方程。它关注的是差分方程解的振荡性质，尤其是与斯图姆链相关的问题。
3. 离散共轭与离散非共轭：这两个概念用于描述差分方程解的某些性质，它们是差分方程定性理论中的基本工具。离散共轭（Disconjugacy）通常与方程解的非振荡性相关，而离散非共轭（Disfocality）则是与解的某些振荡性质相关。
4. 里卡提变换（Riccati Transformations）：里卡提变换是一种变换方法，能够将二阶线性差分方程转化为一阶非线性差分方程，这在处理差分方程的振动问题时非常有用。
5. Reid's绕道定理：该定理用于分析线性二阶差分方程解的性质，通过研究差分方程系数的某种结构来判断解的振动性。
6. 主导解与次要解：在差分方程的研究中，主导解（Dominant solutions）和次要解（Recessive solutions）是指那些在某意义上占优或相对弱的解。理解这两类解的性质有助于分析差分方程解的全局行为。
7. 连续性准则（Conjugacy criteria）：用于判断两个差分方程是否具有相似的振动或非振动行为。
8. 线性离散振动理论的方法：这本书介绍了一系列用于分析差分方程振动性的方法，如变分原理和比较定理。
9. 线性阻尼差分方程的振动准则：专门研究了线性阻尼项对于差分方程振动性的影响。
10. 振动、非振动及单调解：研究了差分方程解的不同类型，包括振动解、非振动解以及单调解。
11. Riccati技术与平均技术：这些技术是分析差分方程振动性的有效工具，分别基于不同的数学原理来推导出振动和非振动的条件。
12. 非线性振荡理论：书中也涉及了非线性差分方程的振荡理论，这是比线性振荡理论更为复杂的研究领域。
13. 隐式型结果：涉及差分方程解的隐式表达，以及从这种表达中推导出解性质的方法。
总结来说，离散振荡理论是一门涉及多个数学分支的综合性理论，它主要通过数学分析、代数和组合数学等工具来研究差分方程的定性行为。由于差分方程在经济学、生物学、物理学、工程学以及计算机科学等领域中的广泛应用，该理论不仅对数学理论的发展具有重要意义，同时也为许多实际问题提供了理论依据。Ravi P. Agarwal及其合作者在该领域的研究为理解差分方程解的行为提供了丰富的理论资源。
