本文研究了一类具有时滞和脉冲效应的两种群周期浮游生物植化相克系统，通过运用分析技巧和重合度理论，构造同伦变换，证实了该系统存在周期正解的新结果，实现了对既有研究结果的推广和改进。植化相克指生物间因代谢产物相互作用而产生竞争或抑制效应的现象。在生态学中，植化相克常用于描述浮游生物间的相互作用。本研究的背景在于水生生态系统中浮游植物种群波动的研究，尤其是浮游植物通过分泌毒素等化学物质抑制其他种群增长的现象。
植化相克系统的数学模型通常用微分方程来描述，其中种群动态不仅受到周期性环境变化的影响，还可能受到脉冲效应的影响。脉冲效应是指在固定或不规则的时间点上系统状态发生突变的现象，常见于生态学中的种群收获、突变死亡等场合。
在文献中，系统N′1和N′2是考虑种群动态及其植化相克效应的模型。本研究扩展了系统，考虑了脉冲和可变时滞效应，建立了一类新的系统。系统中的变量y1(t)和y2(t)分别代表两种群的数量动态，而时滞项τ1(t)，τ2(t)，σ1(t)，σ2(t)表示不同生物间相互作用的时滞效应。脉冲效应则体现在在周期性的脉冲点tk时刻，生物种群的数量发生突变。
研究方法部分，首先通过分析技巧和重合度理论，利用同伦变换方法构建了一个新的数学框架。同伦变换是一种数学方法，可以将复杂的数学问题转化为更简单的形式。在本研究中，同伦变换被用来证明周期解的存在性。
研究中引入了若干假设，例如假设A1指出系统中固定脉冲点的存在；假设A2与A3分别涉及脉冲效应和函数的非负连续性及周期性。这些假设保证了所研究系统的数学模型具有一定的实际生态背景。
引理和定义部分是研究工作的理论基础。引入了重合度理论中的延拓定理，其涉及的数学概念包括赋范向量空间、线性映射、连续映射以及Fredholm映射等。Fredholm映射是研究线性算子的工具，用于分析线性方程的解的性质。引入的引理1是延拓定理的一个重要应用，提供了求解非线性方程周期解的存在性条件。
文章中还提到了Brouwer度的概念。Brouwer度是拓扑学中的一个重要工具，用于研究连续映射在某个点附近的行为，特别是判断解的存在性。如果Brouwer度不为零，则表明方程在给定区域内有解。
文章通过理论分析和数值仿真验证了模型的有效性，并且在不同情形下得到了系统周期正解的存在性。这些理论结果对于理解植化相克系统中种群动态的周期性波动具有重要意义，并且对于生态学、环境科学以及生物数学的研究具有潜在的应用价值。通过推广和改进已有的模型，本研究为生态系统的动态分析提供了新的数学工具和理论依据。
