A contribution to the condition number of the total least square...

关于总体最小二乘问题（Total Least Squares Problem, TLS）的条件数的研究，是中国学者贾仲孝和李冰玉所著的科研成果。总体最小二乘问题是一种数学优化问题，其在处理带有误差的数据时，比传统的最小二乘问题（Ordinary Least Squares, OLS）更加准确和稳定。这种问题广泛应用于数据拟合、信号处理、系统识别等领域。 在这项研究中，作者针对总体最小二乘问题的条件数，提出了易于计算的公式和上下界。条件数是衡量数学模型对输入数据微小变化敏感度的一个重要指标，对于一个数值计算问题的稳定性分析有着重要意义。条件数越大，表示模型对于输入数据的变化越敏感，数值计算结果的准确性越难以保证。 文章提出了两个简单的计算总体最小二乘问题条件数的公式。一个公式通过利用矩阵的Kronecker积性质来推导，另一个则通过利用矩阵[Ab]的奇异值分解（Singular Value Decomposition, SVD）来获得。奇异值分解是一种在矩阵理论中非常重要的数学工具，它可以将任何矩阵分解为三个特殊矩阵的乘积。该分解对于求解总体最小二乘问题的条件数至关重要，因为它可以准确计算出矩阵的奇异值，从而为条件数的估计提供依据。 在这些公式的基础上，作者给出了涉及矩阵[Ab]奇异值和右奇异向量最后项的条件数的上下界。他们证明了这些界限总是尖锐的，并且通过不多于四倍的计算，能够准确地估计出条件数。同时，研究中还建立了其他几个仅涉及A和[Ab]的少数奇异值的上下界。这些界限特别适用于大规模总体最小二乘问题，因为它们避免了涉及所有奇异值的计算，这对于大规模问题的计算成本是一个巨大的节省。 此外，研究还讨论了这些界限的紧密性，即它们与实际条件数的接近程度。对于大型总体最小二乘问题而言，许多涉及A和/或[Ab]所有奇异值的条件数公式和界限计算成本过高，不切实际。因此，这项研究提出的上下界对于此类问题具有重要的实用价值。 为了验证所提出界限的有效性，文中还进行了数值实验。实验结果表明，所提出界限的准确性要优于文献中已知的近似条件数。这些研究结果不仅丰富了总体最小二乘问题的理论基础，而且提供了更为实用的数值计算工具，对实际问题的求解具有重要的指导意义。 关键词包括：总体最小二乘、条件数、奇异值分解。这些关键词是理解和研究总体最小二乘问题及其条件数的关键所在。 文章由贾仲孝（1），李冰玉（2）撰写，分别隶属于清华大学数学科学系（位于北京）和东北师范大学数学与统计学院（位于长春）。文章得到了中国国家基础研究计划、国家自然科学基金以及高等教育博士学科专项科研基金的部分支持。论文的通讯作者是李冰玉，可以通过电子邮件***进行联系。 研究工作对于理解总体最小二乘问题的数值稳定性具有重要意义，并为处理此类问题的科学家和工程师提供了宝贵的理论和计算工具。通过这些易于计算的条件数界限，研究者能够更好地评估他们模型的敏感性，并据此改进模型设计，以提高模型在面对数据误差时的鲁棒性。