提出求解渐变折舫率平面波导导模的一种简单且有足够精度的近似解法,是用对称三层平板波导逼近对称渐变平面波导,用四层平板波导逼近非对称渐变平面波导,再用变分公式进行修正。对各种典型折射率剖面（直线型、抛物型、指数型、高斯型）的计算结果表明,与精确数值解法结果相符。
### 渐变折射率平面波导导模的等效平面波导解法解析
#### 摘要
本文介绍了一种求解渐变折射率平面波导导模的有效且简单的近似解法，该方法通过使用对称三层平板波导逼近对称渐变平面波导，以及使用四层平板波导逼近非对称渐变平面波导，并结合变分公式进行修正。此方法在处理直线型、抛物型、指数型、高斯型等各种典型折射率剖面时表现出与精确数值解法相一致的结果。
#### 关键词
- 平面波导
- 导模
- 变分原理
- 多层平板波导近似法
- 渐变折射率
#### 分类号
- TN252
#### 引言
求解渐变折射率平面波导的导模问题一直是光波导研究领域的重要课题之一。多层平板波导近似法是一种有效的方法，它能够保证计算精度。本文提出的新型解法进一步简化了计算过程，同时保持了足够的精度，适用于任意折射率分布的情况，并易于推广到含有金属包层的情况及渐变折射率光纤的情况。
#### 理论基础
##### 1. 对称渐变折射率平面波导
考虑具有对称非均匀平面波导结构，折射率分布为：
\[ n_a(x) = n_1 + (n_2 - n_1)f(x), \quad |x| \leq a \]
其中，\( n_1 > n_2 \)，函数 \( f(x) \)（称为剖面函数）在折射率剖面截断情况下在区间 \((0, a)\) 内单调地从 \( f(0) = 1 \) 降至 \( f(a) = 0 \)，对于 \( |x| > a \)，\( f(x) = 0 \)；在渐变折射率剖面情况下，则 \( f(x) \) 单调地从 \( f(0) = 1 \) 降至 \( f(\infty) = 0 \)。
定义归一化频率 \( V \) 及归一化传播常数 \( P^2 \) 如下：
\[ P^2 = \frac{\beta^2 - n_1^2}{n_1^2 - n_2^2}, \quad V = ak\sqrt{n_1 - n_2} \]
其中，\( \beta \) 为传播常数，\( k \) 为自由空间中的波数，\( k = \frac{2\pi}{\lambda} \)。
针对四种常见剖面函数，分别有：
- **截断直线型**：\( f(x) = \begin{cases} 1 & x \leq V \\ 0 & x > V \end{cases} \)
- **截断抛物型**：\( f(x) = 1 - \frac{x^2}{V^2}, \quad x \leq V \)
- **指数型**：\( f(x) = e^{-x/V}, \quad x \geq 0 \)
- **高斯型**：\( f(x) = e^{-x^2/(2V^2)}, \quad x \geq 0 \)
为了求解上述问题，采用一个对称三层平板波导来逼近渐变平面波导，然后利用变分公式进行修正以求得归一化传播常数 \( P^2 \) 值。三层平板波导的芯区厚度及各区折射率的选择依据是：
- 渐变波导的振荡区与指数型解区之间的转折点坐标为 \( x = x_m \)，其中 \( x_m \) 由方程 \( f(x_m) = P^2 \) 确定。
- 三层平板波导的芯区厚度设为 \( 2x_m \)，折射率剖面函数为：
\[ J(x) = \begin{cases} f_1 & 0 < x \leq x_m \\ 0 & x > x_m \end{cases} \]
其中，\( f_1 \) 为渐变波导的剖面函数 \( f(x) \) 在区间 \((0, x_m)\) 内的算术平均值。
#### 解法步骤
- **场函数表达式**（仅考虑最低阶模）：
\[ \psi(x) = \begin{cases} \cos(ax), & 0 < x \leq x_m \\ e^{-\alpha(x - x_m)}, & x > x_m \end{cases} \]
其中，\( a = \sqrt{V^2 - P^2} \)。
- **特征方程**（对于 TE 模）：
\[ \sigma \tan(\sigma x_m) = P^2 \]
- **变分公式**：
\[ P^2 = \frac{\int \psi^* H \psi dx}{\int \psi^* \psi dx} \]
其中，\( H \) 是亥姆霍兹方程 \( H\psi = P^2\psi \) 中的算子。
#### 结果与讨论
通过对各种典型折射率剖面的计算结果显示，该方法得到的结果与精确数值解法结果相符。这表明，所提出的等效平面波导解法不仅简单易行，而且能够有效地应用于渐变折射率平面波导的导模分析中，尤其是在处理复杂的折射率分布时展现出较好的适用性和准确性。此外，该方法还具有编程简便、易于推广等特点，为进一步的研究提供了有力的工具。
本文提出的渐变折射率平面波导导模的等效平面波导解法提供了一种有效的近似求解方法，不仅简化了计算过程，而且在保持足够精度的同时，适用于更广泛的折射率分布情况，具有重要的理论意义和应用价值。
