收稿日期 ：２０１０‐０８‐０４ ；修改稿收到日期 ：２０１１‐０３‐０４畅
基金项目 ：国家自然科学基金（５０９７８０１５）资助项目 畅
作者简介 ：潘玉华
倡
（１９８３‐） ，男 ，博士生
（Ｅ‐ｍａｉｌ ：０６１２１４７０＠ ｂｊｔｕ ．ｅｄｕ ．ｃｎ） ．
第２８卷第４期
２０１１ 年 ８ 月
计 算 力 学 学 报
Ｃｈｉｎｅｓｅ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ
Ｖｏｌ ．２８ ，Ｎｏ ．４
Ａｕｇｕｓｔ ２０１１
文章编号 ：１００７‐４７０８（２０１１）０４‐０５１７‐０６
基 于 微 分 求 积 法 求 解 非 粘 滞
阻 尼 系 统 的 时 程 响 应
潘玉华
倡
， 王元丰
（北京交通大学 土木建筑工程学院 ，北京 １０００４４）
摘 要 ：研究一种含有指数型非粘滞阻尼线性多自由度振动系统的时程分析问题 。 该非粘滞阻尼模型假设阻尼
力与质点速度的时间历程相关 ，数学表述为质点速度与核函数的卷积 。 由于阻尼模型的改变 ，常用的数值积分方
法（如 Ｎｅｗｍａｒｋ‐
β
法 、Ｗｉｌｓｏｎ‐
θ
法）不能直接应用于这种非粘滞阻尼系统 。 基于一种无条件稳定的微分求积方法 ，
给出了这种非粘滞阻尼系统的逐步积分表达式 。 与其他文献中的方法相比 ，该方法无需将系统动力方程扩展成
状态空间方程 ，而是直接对非粘滞阻尼系统的动力方程进行数值计算 ，具有概念简单 ，适用范围广 ，计算精度高的
优点 。 数值算例验证了该方法的有效性 。
关键词 ：非粘滞阻尼 ；指数型阻尼 ；微分求积法 ；时程积分
中图分类号 ：Ｏ３２２ 文献标志码 ：Ａ
１ 引 言
振动系统的阻尼特性是结构动力分析领域中
的一个重要问题 。 人们通常采用数学上简便的粘
滞阻尼模型来模拟振动中的能量耗散 。 然而 ，该模
型假设阻尼力与瞬时速度相关 ，计算出的每周能量
损失与外激励频率成正比 ，这与大量试验现象不
符
［１］
。 随着现代（如汽车 ，航空航天）工业的发展 ，
以及复合材料的广泛应用 ，都要求对振动系统的阻
尼耗能特性进行更加准确的分析和设计 。 因此 ，越
来越多的研究者开始探索其他阻尼模型
［２‐５］
，以期
能够更好地描述结构的耗能特性 。
一般来说 ，阻尼力不与瞬时速度相关的阻尼模
型称为非粘滞阻尼 。 数学上 ，只要符合因果性条件
（保证阻尼耗能为非负）的数学模型都可用来描述非
粘滞阻尼 。 本文研究一种卷积型非粘滞阻尼系统的
时程分析方法 ，这种阻尼的数学模型最早由 Ｂｉｏｔ
［２］
在 １９５８ 年提出 。 该模型假设阻尼力与速度的时间
历程相关 ，数学表达为速度与核函数的卷积 ，即
ｆ
ｄ
（ｔ） ＝
∫
ｔ
０
Ｇ（ｔ
－
τ
）ｘ
·
（
τ
）ｄ
τ
（１）
式中 Ｇ（ｔ） 为核函数矩阵 。
通过核函数形式的选取 ，可以更广泛地描述
不同机制的阻尼作用
［６］
。本文选择指数型核函数 ，
表达式为
Ｇ（ｔ） ＝
∑
ｋ
ｍａｘ
ｋ
＝
１
Ｃ
ｋ
μ
ｋ
ｅ
－
μ
ｋ
ｔ
，ｔ
≥
０ （２）
式中 Ｃ
ｋ
为阻尼系数矩阵 ，
μ
ｋ
为松弛参数 ，ｋ
ｍａｘ
指描
述不同阻尼作用情况的松弛参数的个数 。
含有这种阻尼模型的多自由度系统振动方程
为
Ｍｘ
··
（ｔ） ＋
∑
ｋ
ｍａｘ
ｋ
＝
１
∫
ｔ
０
Ｃ
ｋ
μ
ｋ
ｅ
－
μ
ｋ
（ｔ
－
τ
）
ｘ
·
（
τ
）ｄ
τ
＋
Ｋｘ（ｔ） ＝
ｆ
（ｔ）
（３）
式中 Ｍ 和 Ｋ 分别为质量矩阵和刚度矩阵 ，
ｆ
（ｔ） 为
荷载向量 。
可以看出 ，当
μ
ｋ
→
∞ ，ｋ
＝
１ ，２ ，… ，ｋ
ｍａｘ
时 ，式
（３） 转化为一般的粘滞阻尼系统 ，其等效粘滞阻尼
矩阵为
Ｃ
＝
∑
ｋ
ｍａｘ
ｋ
＝
１
Ｃ
ｋ
（４）
因此 ，这种指数型非粘滞阻尼模型可以看做是
粘滞阻尼模型的推广 。由于阻尼数学模型的改变 ，常
用的数值积分方法（如 Ｎｅｗｍａｒｋ‐
β
法 、Ｗｉｌｓｏｎ‐
θ
法）
不能直接 应 用 于这种具有非粘 滞 阻尼的系统 。
Ｗａｇｎｅｒ 和 Ａｄｈｉｋａｒｉ
［６］
将非比例粘滞阻尼系统的状
态空间法扩展到该非粘滞阻尼系统 ，提出了状态空
间的模态叠加法 。尽管该方法给出了这种非粘滞阻
尼系统的精确解 ，但计算量巨大 ，耗时较多 。随后 ，
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