高阶粘弹性波动方程是数学物理领域中研究波动现象的重要方程之一，特别是在考虑材料的粘弹性特性时。粘弹性材料具有应力与应变之间既非纯粹弹性也非纯粹粘性行为的特征，体现在材料的应力应变关系既依赖于当前的应变状态，也与过去的应变状态有关。在实际应用中，如土木工程、材料科学和生物学领域中，高阶粘弹性波动方程的模型尤为重要。本研究论文着重探讨了带有非线性源项的高阶粘弹性波动方程解的整体存在性以及有限时间内的解的爆破问题，即解在某个时间之后不存在，表明了某种形式的灾难性失败。
研究涉及高阶粘弹性波动方程，这是一个描述高阶时间导数和空间导数的偏微分方程。在这类方程中，“高阶”意味着方程包含了空间导数的更高阶数，例如二阶或更高。而“粘弹性”则体现在方程中对于时间导数项的特殊形式，通常与一个松弛函数相关，用以描述材料随时间变化的粘弹性行为。
在数学表述上，研究中的波动方程的一般形式可以写为：
utt+(−∆)mu−∫g(t−s)(−∆)musds=|u|p−2u，
其中utt表示时间导数的二阶项，(−∆)m表示拉普拉斯算子的m阶形式，u(x,t)是波动方程的解，u0(x)和u1(x)是给定的初始条件，而g(t−s)代表松弛函数，它随时间变化描述了材料的记忆特性。|u|p−2u代表非线性源项，是导致波动方程非线性的关键因素。在数学上，非线性源项的存在使得方程的求解变得复杂。
研究论文中，作者使用了Galerkin方法来建立此高阶粘弹性波动方程弱解的整体存在性。Galerkin方法是数学分析中的一种技术，通过选择适当的基函数空间和投影技巧，将无限维的偏微分方程近似为有限维的问题，进而通过分析有限维系统的性质来获得原问题的解的性质。在本论文中，通过Galerkin方法，作者证明了在一定的条件下，可以找到波动方程的全局弱解。
同时，研究论文也探讨了在何种条件下解会爆破。具体而言，论文给出了松弛函数g(·)和初始能量的某些条件，即当初始能量为正或非正时，解在有限时间内爆破。这里的关键是确定解存在的时间跨度，也即解的寿命估计。寿命估计有助于我们了解在特定条件下物理现象如何随时间发展以及可能发生的灾难性失败。
论文中还提到了之前的研究工作，例如S.Berrimi和S.A.Messaoudi的研究表明，在特定的松弛函数和非线性源项下，对于某些初始数据，局部存在性定理可以被证明，而且在适当的条件下，解会全局存在，并且能量会呈现出指数或多项式衰减。这说明了非线性波动方程解的性质与松弛函数的衰减特性密切相关。
该论文为我们提供了深入理解高阶粘弹性波动方程解的性质、整体存在性以及爆破问题的理论框架，并指出了研究的方向和关键点。这些研究结果对于预测和控制波动现象，以及相关领域的工程应用具有重要的理论和实践意义。
