### 二次型判别函数在中期晴雨判别中的应用
#### 引言
判别分析作为统计学中的一种常用工具，在多个领域有着广泛的应用，特别是在气象预测方面。本文主要探讨了二次型判别函数在中期晴雨判别中的应用，并通过理论分析和实践案例展示了该方法的有效性和优越性。
#### 二次型判别函数的数学模型
在讨论二次型判别函数之前，我们需要了解一些基本的概念。判别分析通常是在假设样本服从正态分布的情况下进行的。当不同类别之间的协方差矩阵相等（即 \(\Sigma_1 = \Sigma_2\)）时，基于贝叶斯准则可以得到线性判别函数；而当 \(\Sigma_1 \neq \Sigma_2\) 时，则需要使用二次型判别函数。
为了检验假设 \(\Sigma_1 = \Sigma_2\) 是否成立，文中采用了一种统计量方法——BC\(^{-1}\) 统计量，它由 G.E.P. Box 提出。具体计算公式如下：
\[ B = (\omega - 1) \ln|\Sigma| - \frac{\omega_1 - 1}{2} \ln|\Sigma_1| - \frac{\omega_2 - 1}{2} \ln|\Sigma_2| \]
\[ C^{-1} = \frac{1}{\omega - 1} - \frac{1}{\omega_1 - 1} - \frac{1}{\omega_2 - 1} \]
其中，\(\omega\)、\(\omega_1\) 和 \(\omega_2\) 分别代表总样本数、第一类样本数和第二类样本数；\(\Sigma\)、\(\Sigma_1\) 和 \(\Sigma_2\) 分别表示总的样本协方差矩阵和两类样本的协方差矩阵。当 BC\(^{-1}\) 的值超过某一临界值时，拒绝 \(\Sigma_1 = \Sigma_2\) 的假设，需要使用二次型判别函数；否则，可以继续使用线性判别函数。
二次型判别函数的一般形式为：
\[ D(x) = -\frac{1}{2}(x - \mu_1)^T\Sigma_1^{-1}(x - \mu_1) + \frac{1}{2}(x - \mu_2)^T\Sigma_2^{-1}(x - \mu_2) - \frac{1}{2} \ln \frac{|\Sigma_1|}{|\Sigma_2|} \]
其中，\(\mu_1\) 和 \(\mu_2\) 是两类样本的均值向量。
由于二次型判别函数的形式比线性判别函数复杂，计算量也更大，因此作者提出了一个简化方法：通过寻找一个线性变换矩阵 \(A\)，使得变换后的预报因子向量 \(Y = AX\) 中的各个分量彼此独立。这个线性变换可以通过求解特征值问题来实现：
\[ A^T\Sigma_1A = D_1 \quad \text{和} \quad A^T\Sigma_2A = D_2 \]
其中，\(D_1\) 和 \(D_2\) 是对角矩阵。如果 \(\Sigma_1\) 和 \(\Sigma_2\) 的特征值互不相同，那么可以找到一个正交矩阵 \(T\) 使得：
\[ T^TD_1T = D_1 \quad \text{和} \quad T^TD_2T = D_2 \]
#### 二次型判别函数计算流程
为了使上述过程更加直观易懂，文中给出了二次型判别函数的计算流程图。这一流程主要包括以下几个步骤：
1. **数据准备**：收集样本数据并计算各类样本的均值向量和协方差矩阵。
2. **检验协方差矩阵相等性**：利用 BC\(^{-1}\) 统计量判断 \(\Sigma_1\) 和 \(\Sigma_2\) 是否相等。
3. **特征值问题求解**：如果 \(\Sigma_1\) 和 \(\Sigma_2\) 不相等，求解特征值问题以找到合适的线性变换矩阵 \(A\)。
4. **线性变换**：根据矩阵 \(A\) 对预报因子向量进行线性变换。
5. **判别函数计算**：计算变换后的向量 \(Y\) 的二次型判别函数值。
6. **分类决策**：根据判别函数值进行分类决策。
#### 辽宁中期晴雨二次型判别函数的应用
在实践中，作者选取了辽宁省作为研究区域，通过实证研究验证了二次型判别函数的有效性。通过统计量 \(F\) 对预报因子进行了初步筛选，选取了前10个 \(F\) 值最大的预报因子进入后续分析。接着，按照上述计算流程，构建了二次型判别函数模型，并应用于中期晴雨判别的预测中。结果显示，相比于传统的线性判别函数，二次型判别函数在预测准确率方面具有明显的优势。
二次型判别函数作为一种非线性的判别分析方法，在处理协方差矩阵不相等的情况时表现出了较高的灵活性和准确性。通过对预报因子的合理选择和模型参数的有效估计，二次型判别函数能够为中期晴雨预测提供有力的支持。未来的研究可以进一步探索如何优化预报因子的选择以及如何提高模型的泛化能力，以期在实际应用中获得更好的预测效果。
