### 有限时间稳定化切换马尔可夫跳跃系统的不确定性转换率
#### 摘要与研究背景
本文探讨了连续时间切换马尔可夫跳跃系统（Switched Markov Jump Systems, SMJS）在不确定性转换率下的有限时间稳定性和稳定化问题。其中，转换率矩阵中的某些元素无法精确得知，但其上下界是已知或完全未知的。文章通过将马尔可夫过程分段积分，并允许随机多重李雅普诺夫函数在每次切换时增加一定量，以确保状态轨迹在短时间内保持在预定的边界内。两个实例验证了所得结果的有效性。
#### 关键词解读
- **切换马尔可夫跳跃线性系统**：指系统在不同模式之间切换时，每个模式下的行为由线性方程组描述，并且模式之间的切换遵循马尔可夫过程。
- **有限时间稳定化**：指系统状态能够在有限时间内达到稳定的特性，即状态变量在特定时间内收敛到某个区域内。
- **不确定性转换率**：指在马尔可夫跳跃系统中，模式间转换的概率存在不确定性，即某些转换概率值无法精确获得。
- **分段积分**：为解决不确定转换率的问题而采用的一种方法，通过将马尔可夫过程按照不同的区间进行积分处理。
#### 研究动机
切换系统是一类典型的混合系统，它包含了一组由微分或差分方程描述的子系统和控制这些子系统之间切换的规则。这类系统的研究主要源于其在机械控制系统、交通控制、电力系统等多个领域的广泛应用。在某一时刻，切换线性系统对应于一个确定性的线性子系统。然而，由于诸如组件故障和参数突变等突然现象的存在，子系统更适合作为马尔可夫跳跃线性系统（MJLS）来描述。在这种情况下，该层次结构的系统被称作切换马尔可夫跳跃系统。
#### 主要研究内容
1. **不确定性转换率的影响分析**：研究了在转换率矩阵中某些元素不确定的情况下，如何评估和控制系统的稳定性。这包括对已知转换率上下界的分析以及完全未知转换率的情况。
2. **有限时间稳定性的实现**：提出了通过允许随机多重李雅普诺夫函数在每次切换时增加，确保状态轨迹在短时间内保持在预定边界内的方法。这种方法考虑了系统状态的变化速度和变化范围，从而有效地解决了有限时间稳定性问题。
3. **分段积分技术的应用**：为了解决不确定性转换率带来的挑战，文章引入了分段积分技术。通过将马尔可夫过程的时间间隔分成多个小段，并对每个时间段内的转换率进行积分处理，可以更好地理解系统的动态行为。
4. **案例研究**：为了验证理论分析的有效性，文章提供了两个实例。第一个实例展示了如何在存在不确定性转换率的情况下实现系统的有限时间稳定化。第二个实例则进一步探讨了分段积分技术在处理更复杂场景中的应用。
#### 结论与展望
本文提出的方法为解决切换马尔可夫跳跃系统在不确定性转换率下的有限时间稳定性和稳定化问题提供了一种新的思路。通过对马尔可夫过程的分段积分处理，不仅能够有效应对不确定性转换率带来的挑战，还能确保系统在短时间内达到预定的稳定状态。未来的研究方向可以进一步探索在更加复杂的模型下，如何利用类似的策略实现系统的优化控制。
