双正交偶对称小波的数据量保持型边界对称延拓方法
崔振熠，徐妮妮
（天津工业大学电子与信息工程学院
，
天津 300387）
摘 要：在 Mallat 算法的理论框架下，以双正交偶对称小波为基础，重点讨论了以边界为中心对称的延拓方法，详细
推导了任意信号起点
、任意信号长度的分解与重构公式，
并总结出了此方法下实现小波变换的一般规程. 以
Haar 双正交小波给出实例
，
计算结果表明
，
在保持信号长度不变的情况下
，
按本延拓方式能够实现完全重构.
关键词
：
小波变换
：
Mallat 算法；边界对称延拓
；
双正交偶对称小波
中图分类号
：
TN911.7 文献标志码
：
A 文章编号
：
!" #$%&'（%$12）$6#$$68#$4
Boundarysymmetricextensionmethodswithlengthunchanged
forbiorthonormalwaveletwithevensymmetry
CUIZhen-yi，XUNi-ni
（SchoolofElectronicsandInformationEngineering，TianjinPolytechnicUniversity，Tianjin300387，China）
Abstract：BasedonthetheoryofMallatalgorithm( theboundarysymmertricextensionmethodsforbiorthonormalwavelet
withevensysmmetryarestudied.Andthewaveletdecompositionandtheperfectreconstructionareimplement)
ed( whateverthelenghthofthesignalorthestartofthesignalisoddoreven.Thegeneralprocessofthewavelet
transformwithboundarysymmertricextensionmethodsisderived.AnexampleusingHaarbi-orthogonalwavelet
isgiventoshowthattheproposedmethodpreservestheperfectreconstructionwhilekeepingthesignallength
unchanged.
Keywords：wavelettransform；Mallatalgorithm；boundarysymmertricextension；biorthonormalwaveletwithevensymmetry
第 31 卷第6期
%$12 年 12 月
天津工业大学学报
JOURNALOFTIANJINPOLYTECHNICUNIVERSITY
Vol.31 No.6
December 2012
收稿日期
：
2012-05-14
基金项目
：
国家自然科学基金资助项目
（
60602036）
第一作者
：
崔振熠（ 1987—），男，硕士研究生.
通信作者：徐妮妮（ 1974—），女，博士，副教授
，
硕士生导师.E-mail:xunini@tjpu.edu.cn
小波变换在时域和频域同时具有良好的局部性
质，其最大的特点是可以对信号进行多分辨率分析，
因而在信号奇异性检测、信号去噪、多 尺度边缘检测、
图像分割及图像编码等领域有广泛的应用. 目前
，
已
有许多文献
[1-2]
对小波变换的边界延拓问题进行了研
究
，
其中文献[2]是关于边界延拓相对全面的文献
，
它
给出了正交小波、双正交奇对称小波和双正交偶对称
小波的补零延拓、周期延拓、等值延拓和对称延拓的
方法，但只是讨论了 0 起点的情况. 文献[3-4]在文献
[2]的基础上
，
分别给出了纯二维空间边界延拓中以边
界点为中心对称延拓与周期延拓的方法. 本文对边界
对称延拓的方法进行深入讨论，推导出以双正交偶对
称小波为基础的数据量保持型
、任意起点、任意长度
的小波变换规程. 最后以 Haar 双正交小波为例
，
给出
有限长信号进行小波分解与重构的详细过程.
1 边界延拓问题及 Mallat 算法描述
根据 Mallat
[5-6]
算法，假定输入序列为{c
N，k
}，在 实 小
波的情况下
，
其分解算法为：
c
N-1，k
=
l * z
+
p
,
l-2k
c
N，l
=
l * z
+
p
,
l-k-
c
N，l
|
k-=2k
（1）
d
N-1，k
=
l * z
+
q
,
l-2k
c
N，l
=
l * z
+
q
,
l-k-
c
N，l
|
k-=2k
（2）
即先用分解滤波器{p
,
k
}、{q
,
k
}与{c
N，k
}进行滑动内积
，
然后下采样
（间隔一个样值取样一次）得到
{c
N-1，k
}、{d
N-1，
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