Grüner方程的向量场分析与电荷密度波
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2019-12-30
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Grüner 方程的向量场分析与电荷密度波
李连钢, 阮永丰
天津大学理学院，天津，(300072)
E-mail: liliank@tju.edu.cn
摘 要:
Grüner 方程是研究电荷密度波的经典模型，它是一个非线性微分方程，没有解析解。
本文通过非线性微分方程的广义旋转向量场理论，证明 Grüner 方程在它所满足的物理条件
下，其解一定是周期性的，并且是唯一的。在过阻尼情况下，外场
E
的临界值是一个恒定值，
并且这个值就是方程中的
E
0
。由此得到的对电荷密度波非线性电导描述的理论结果与
Fleming 的经验公式完全相同。
关键词：电荷密度波（CDW），单摆，非线性电导，Grüner 方程，旋转向量场
中图分类号：O469
1 引言
电荷密度波（Charge Density Wave，以下简称 CDW）是低维材料中存在的一种特殊的
电子输运现象。直到今天，人们在高温超导材料中，还经常观察到电荷密度波现象
[1, 2]
。CDW
作为一种独特的导电现象，有关它的理论研究一直吸引着广大理论工作者的注意力
[3, 4, 5, 6, 7]
。
Grüner 及其合作者最先提出了适用于单段情况的单粒子经典模型
[8]
，他们给出的方程是
0
2
2
sin
E
E
dt
d
dt
d
=+Γ+
φ
φφ
. （1）
式中，
))(
2
(
0
0
e
m
E
ω
π
λ
= 是常数，
1
0
)(
−
=Γ
τω
为摩擦系数，E 是外场，
φ
是电荷密度波
的相位。（1）式被称为 Grüner 方程，是非线性微分方程，无法得到解析解。Grüner 假设在
过阻尼情况下,
0
2
2
→
dt
d
φ
, 可以略去二阶微分项，通过积分得到了近似解
[8]
2
0
2
0
EE
DC
−=
σσ
。Grüner 的结果在高场的行为与实验的指数律非常接近，但是，这种
省略显然可能导致方程的原有特性的丢失，其结果导致
DC
σ
的导数在阈场（
0
E ）附近的发
散。在另一篇文章
[9]
中，曾经依据数值计算结果，提出了 Grüner 方程在外场大于一定的阈
值时具有稳定周期解的观点，但是，该文中，对于 Grüner 方程的解之所以具有这种性质没
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