本文探讨了在可数离散半群上概率测度卷积幂的弱收敛性问题。在概率论与数学分析领域中，概率测度的卷积是研究随机过程及其它概率模型中非常重要的概念，它描述了两个独立随机变量和的概率分布。卷积幂则是指对同一概率测度进行自身卷积多次，这个问题的研究有助于理解随机过程的极限行为。
在2000年张慧发表的这篇论文中，提出并证明了概率测度卷积幂弱收敛的一个充分条件。这一充分条件是基于局部群化视角给出的。局部群化可以理解为在局部范围内（如在局部紧半群的框架下），概率测度卷积幂的某些性质可以类比群的性质来研究。在局部紧半群上，概率测度的集合加上卷积运算可以形成一个代数结构，而研究这种结构的极限行为有助于深入理解概率测度的性质。
在论文中，作者首先对概率测度卷积幂的研究背景进行了介绍。历史上，Kawada和Itô在紧群上建立了概率测度卷积幂弱收敛的等价性定理。随后，徐侃等人在此基础上扩展到了紧交换半群、紧L-X半群、紧H半群等不同类型的代数结构上。这些研究的共同点是关注卷积幂弱收敛时，所得到的等价性条件。但本文的侧重点不同，张慧试图研究在什么条件下卷积幂弱收敛，并给出了一类特殊半群上的充分条件。
文中首先定义了概率测度卷积的具体运算规则。这里，B(5)代表了半群S上的Borel域，P(5)表示B(5)上所有正则概率测度的集合。对于集合A，B属于5和元素x属于5，定义了x对A的左乘变换和右乘变换，以及相应的逆变换。在此基础上，通过卷积运算定义了新的概率测度。特别地，当半群S是紧半群时，卷积运算与集合的交集运算有类似的效果，表现出了较强的结构特性。
随后，张慧引入了局部紧半群的概念，这是研究半群上概率测度卷积幂弱收敛的一个重要工具。在此基础上，提出了一系列引理和定理。引理1说明了局部紧半群上胎紧概率测度的弱聚点集拥有紧子群的性质。引理2和引理3分别研究了完全简单半群的性质，和在局部紧半群上得到闭的完全简单半群的条件。引理4则是在局部紧H半群背景下，研究了单位元的作用以及概率测度卷积幂的性质。这些引理构成了全文理论分析的基础。
接着，文章提出了关于可数离散群的收敛性条件（引理5），以及局部紧半群上的概率测度卷积幂弱收敛性的条件（引理6）。张慧通过这些引理和定理，结合了概率测度、卷积运算、拓扑半群等数学领域的知识，为研究概率测度卷积幂的弱收敛性提供了一种新的视角和方法。
张慧指出，本文的研究结果不仅推广了已有的关于概率测度卷积幂弱收敛的研究，而且在一些特殊半群上给出了新的充分条件，为概率测度卷积幂弱收敛性问题提供了新的研究方向和理论依据。此外，本文还得到了国家自然科学基金的资助，显示了研究的理论意义和实际应用价值。
