跳扩散过程是一类重要的随机过程，在金融数学、信号处理、生物学等多个领域有广泛的应用。它结合了布朗运动和跳过程的特性，前者是连续过程，而后者包含跳跃。此类过程在模型中描述了系统的动态演化，特别是那些会因突发事件而产生突变的系统。
在讨论跳扩散过程不变测度的存在与唯一性时，首先需要理解不变测度的含义。不变测度是指，在马氏过程框架下，存在一种概率测度，在这个测度下，状态转移概率分布随时间演化不变。换言之，如果一个概率测度是不变的，那么在马氏过程中，从任何初始分布开始，长期状态分布将趋向于这个不变测度。
对于跳扩散过程不变测度的存在性，通常依据Lyapunov漂移条件和马氏半群的Feller连续性来证明。Lyapunov漂移条件是用于保证过程不会因漂移项驱动而逃逸到无穷远的概率工具。如果能找到一个合适的Lyapunov函数，能够证明系统围绕平衡点的行为足够强，那么就可以确保系统具有某种稳定性质。而马氏半群的Feller连续性是指在一定的连续性条件下，系统的行为具有平滑的性质，不会因为状态空间的微小变化而产生剧烈的状态转移。
另一方面，唯一性问题通常比存在性问题更为复杂。在已知存在不变测度的情况下，通过耦合技巧和马氏半群的e-性质（有时称为指数稳定性性质）来确保不变测度的唯一性。耦合技巧是一种构造性的方法，通过比较不同的状态轨迹之间的差异来展示它们最终会汇合至同一不变测度。e-性质的加入是为了加强耦合过程的速率，确保这种汇合不仅仅发生于某一时间点，而是在指数速率下收敛至唯一不变测度。
文章中提到的随机微分方程定义了跳扩散过程，其形式结合了连续的布朗运动项和具有补偿测度的跳跃项。在保证系数函数（σ、b和fc）的连续性及一定边界条件下，可以通过理论分析得出随机微分方程存在唯一强解。而通过无穷小生成元分析，可以得到跳扩散过程的马氏性质和相应的不变测度。
文章的作者吴哗针对这一问题提供了研究背景和详细分析。他的工作主要是基于现有文献和数学工具，给出了跳扩散过程存在唯一不变测度的充分条件。文献回顾部分介绍了前人在跳扩散过程研究中取得的一些成果，如唯一解的存在性、不变测度的存在性等，并指出了唯一测度性研究的难点。
具体到研究方法，吴哗的研究中可能使用了如下数学工具：
1. 马尔可夫过程理论：涉及马氏过程、马氏半群的定义和性质，以及如何利用这些性质来分析和证明过程的稳定性和不变测度。
***apunov函数方法：通过构造适当的Lyapunov函数并验证其条件，可以分析过程的稳定性，并用于证明不变测度的存在性。
3. 耦合方法：这种方法通常用于证明解的唯一性和不变测度的唯一性，通过构建两组解的耦合模型，比较它们的差异性来得到唯一性结论。
4. 马氏半群理论：特别是半群的Feller性质和e-性质，这些性质在证明不变测度的唯一性方面起到了关键作用。
5. 全变差稳定性：这种稳定性涉及转移概率在全变差意义下的收敛性，是判断过程稳定性的关键指标之一。
本文从理论角度研究了一类跳扩散过程，给出了不变测度存在和唯一的充分条件，这些研究在数学理论及实际应用中都具有重要的意义和价值。通过对跳扩散过程不变测度的研究，可以更好地理解这类随机过程的动态行为，从而在相关领域中更加精准地进行模型构建和预测。
