通过顺序随机嵌入对高维非凸函数进行无导数优化

无导数优化方法适用于复杂的优化问题，但难以扩展到高维度（例如，大于1,000）。 以前，随机嵌入技术已被证明成功地解决了具有低有效尺寸的高尺寸问题。 但是，在许多应用中假设有效尺寸较低是不现实的。 本文转向研究具有较低的最佳“有效”维数的高维问题，该维数使所有维数都有效，但其中许多只具有有限的有限效应。我们对此类问题的随机嵌入性质进行了刻画，并提出了建议顺序随机嵌入（SRE）以减少嵌入间隙，同时在低维空间中运行优化算法。我们将SRE应用于几种最新的无导数优化方法，并对合成函数以及具有100,000个变量的非凸分类任务，实验结果验证了SRE的有效性。 ### 通过顺序随机嵌入对高维非凸函数进行无导数优化 #### 摘要与背景 本文探讨了一种新型的优化方法——顺序随机嵌入（Sequential Random Embeddings, SRE），它旨在解决高维度（如超过1,000维）的非凸优化问题。传统的无导数优化方法虽然适用于复杂的优化问题，但在高维空间中的应用却面临挑战，主要是由于计算复杂度和维度灾难的问题。 #### 随机嵌入技术概述 在解决高维问题时，随机嵌入技术被证明是非常有效的。这种技术通过将高维数据投影到低维空间来降低问题的复杂度，从而使得原本在高维空间中难以处理的问题变得可行。然而，现有的随机嵌入技术通常假设目标问题的有效维度较低，即只有少数几个维度对于问题的结果有显著影响，而其他维度的影响可以忽略不计。但在实际应用中，这样的假设往往过于理想化。 #### 顺序随机嵌入（SRE） 为了解决上述问题，本文提出了一种新的方法——顺序随机嵌入（SRE）。SRE 的核心思想是在考虑所有维度均为有效的情况下，通过逐步增加嵌入维度的方式减少随机嵌入带来的误差，同时保持优化算法在低维空间中的高效运行。 - **SRE 的原理**：SRE 方法首先对原始高维数据进行随机投影，得到一个初始的低维表示。随后，根据优化过程中反馈的信息动态调整嵌入维度，逐渐增加维度直到达到某个预设的标准或者满足收敛条件。 - **SRE 的优势**：这种方法能够在保留高维数据特征的同时，有效地降低计算成本。此外，SRE 还能够适应不同类型的优化算法，提高它们在处理高维非凸问题时的表现。 #### 应用实例 为了验证 SRE 方法的有效性，作者们将其应用于多种最先进的无导数优化方法中，并在不同的测试场景下进行了实验。 - **合成函数**：在一组预先设计的合成函数上进行了测试，这些函数通常具有高维度和非凸特性，适合用于评估优化算法的性能。 - **非凸分类任务**：此外，还对一个包含高达 100,000 个变量的非凸分类任务进行了测试。这类任务在机器学习领域非常常见，能够更真实地反映 SRE 方法的实际应用场景。 #### 实验结果分析 实验结果显示，无论是在合成函数还是在实际的非凸分类任务中，采用 SRE 方法都能够显著提高优化过程的效率和准确性。特别是在处理极高维度的数据时，SRE 方法表现出了明显的优势，能够有效地克服维度灾难带来的问题。 #### 结论 本文提出的顺序随机嵌入方法为解决高维非凸优化问题提供了一个新的视角。通过逐步增加嵌入维度的方式，SRE 能够在保持优化算法高效运行的同时，减少由随机嵌入引入的误差。这一方法不仅理论上有创新之处，而且在实践应用中也展现出了良好的效果。未来的研究方向可能包括进一步改进 SRE 方法以适应更多类型的问题，以及探索其在其他领域的潜在应用。