研究了带扰动参数的拟线性椭圆方程-ε2Δu-ε2Δ(u2) u +ε2V( x) u = h( u),x∈RN,N≥3正解的存在性.其中V( x)为正的连续位势函数.在h( u)及V( x)满足适当的条件下,建立了方程正解的存在性定理.
### 带扰动参数的拟线性椭圆方程正解的存在性
#### 概述
该论文探讨了一类带有扰动参数的拟线性椭圆方程正解的存在性问题，具体形式为：
\[
-ε^2Δu - ε^2Δ(u^2)u + ε^2V(x)u = h(u), \quad x ∈ ℝ^N, N ≥ 3
\]
其中，\(V(x)\) 是一个正的连续势能函数。通过设定 \(h(u)\) 和 \(V(x)\) 满足一定的条件，作者们建立了上述方程正解的存在性定理。
#### 研究背景
此类方程来源于对拟线性 Schrödinger 方程的研究，即
\[
iε\frac{∂ψ}{∂t} = -ε^2Δψ + ε^2W(x)ψ - h(|ψ|^2)ψ - ε^2κΔ[ρ|ψ|^2]ρ′(|ψ|^2)ψ
\]
方程中的驻波解与拟线性椭圆方程的解之间存在着紧密的联系。近年来，半线性情形已经得到了广泛的研究，而拟线性情形则更多地出现在数学物理学方程中，作为某些物理现象的模型。
#### 主要结果与方法
**1. 变分方法的应用**
论文的核心在于使用变分方法来研究上述拟线性椭圆方程的正解存在性。具体而言，通过定义相应的变分泛函
\[
J_ε(u) = \frac{ε^2}{2} ∫_{ℝ^N}(1 + 2|u|^2)|∇u|^2
\]
以及其它相关的泛函，作者们构建了一系列关键的数学工具，包括山路引理等，用于证明解的存在性。
**2. 正解的存在性**
为了确保方程正解的存在性，作者们对 \(h(u)\) 和 \(V(x)\) 提出了若干假设条件。这些条件通常涉及函数的增长率、正定性以及某些积分条件等。基于这些条件，通过使用变分方法，最终建立了正解存在的定理。
#### 相关工作综述
- **极小化理论**：文献 [2] 探讨了不同非线性项下的方程正基态解的存在性。
- **变量替换法**：文献 [3] 通过将拟线性椭圆问题转换为半线性问题，在 Orlicz 空间中利用山路引理证明了解的存在性。
- **Sobolev 空间的应用**：文献 [4] 在一般 Sobolev 空间中对于不同类型非线性项的情况证明了解的存在性。
- **临界指数增长**：文献 [5] 考虑了 \(N=2\) 的情况，假设非线性项 \(h\) 满足临界指数增长条件，通过 Ambrosetti-Rabinowitz 条件、山路引理及 \(ℝ^2\) 上的 Trudinger-Moser 类型迭代不等式得到解的存在性。
#### 结论
通过对拟线性椭圆方程的深入研究，论文不仅证明了特定情况下正解的存在性，还为解决更广泛的数学物理问题提供了有价值的数学工具和技术。此外，这些成果也为后续研究奠定了坚实的理论基础，并可能启发新的应用领域的发展。
这篇论文通过对带扰动参数的拟线性椭圆方程正解存在的研究，不仅扩展了现有理论，还为解决实际问题提供了有力的数学支持。
