线性拓扑空间中的Riemann可积性 (1957年)

在数学分析领域，Riemann积分是一种用以计算连续函数在一定区间上定积分的方法。Riemann可积性是指在一定条件下，函数能够被Riemann积分定义。本文的作者陈天权在1957年发表的研究中，探讨了Riemann可积性在更一般的数学结构——线性拓扑空间中的推广问题，特别是针对非局部凸情形的研究。 在这篇文章中，首先提到了Riemann积分和Lebesgue积分已经被推广到局部凸线性拓扑空间中的函数。局部凸空间是一类特殊的拓扑线性空间，其中的开集是凸的。这些空间在现代泛函分析中非常常见，因为它们对线性泛函有良好的表现。作者指出，自然地，研究者们会考虑在非局部凸线性拓扑空间中进行类似推广的可行性。 随后，文章讨论了线性拓扑空间中的赋范可能性和Riemann可积性。赋范线性空间是指给定了范数的线性空间，可以形成一个度量空间。一个线性拓扑空间赋范的充分必要条件是有某个凸域，使得任何从区间[0,1]到该域的梯形函数都是Riemann可积的。这表明了赋范与Riemann可积性之间的深刻联系。 文章接着提出了两个主要定理。定理1指出：一个线性拓扑空间赋范的充分必要条件是存在一个凸域N，使得从区间[0,1]到N的任何梯形函数都是Riemann可积的。这一条件通过凸性和Riemann和的性质紧密关联起来。 定理2则表明了在可度量化的线性拓扑空间中，局部凸性是每个一致连续函数都是Riemann可积的充分必要条件。这一点通过研究从[0,1]到空间E的稠密子集S的一致连续函数来完成。通过对空间E局部凸性的探讨，文章揭示了Riemann积分与局部凸性的内在联系。 进一步，作者通过对特定梯形函数进行分划，构造了Riemann和的序列，并通过分析这些序列来探讨函数的可积性。文章指出，如果Riemann和构成柯西序列，则函数是Riemann可积的。如果Riemann和序列不是柯西序列，则意味着函数不是Riemann可积的。 在讨论非局部凸空间时，文章探讨了当存在一个无法形成赋范的线性拓扑空间时的情况。文章详细分析了在两种不同情况下，即空间是有界和无界的凸集时，Riemann和如何不形成柯西序列，进而得出函数不是Riemann可积的结论。 陈天权在这篇论文中详细探讨了线性拓扑空间中Riemann可积性的推广，并给出了在不同条件下函数可积性的判定定理。这些发现不仅加深了数学家们对于积分理论的理解，而且对于泛函分析中线性拓扑空间的研究提供了新的视角和工具。这些工作对于数学理论的发展具有重要的意义，并对后续的研究产生了深远的影响。