四川大学-曹广福-实变函数论课件

实变函数论是数学的一个重要分支，主要研究实值函数的性质、结构及其与测度和积分的关系。在高等数学教育中，它通常被视为从微积分到更抽象数学理论的过渡，如泛函分析。本课程是四川大学数学学院开设的一门专业课程，由曹广福教授主讲，并配有相应的课件，旨在帮助学生深入理解实变函数论的基本概念、定理和应用。 曹广福教授编写的《实变函数论与泛函分析（上册）》是这门课程的指定教材，该书可能涵盖了以下几个核心知识点： 1. 测度理论：这是实变函数论的基础，包括黎曼积分的局限性和Lebesgue测度的引入。Lebesgue测度能够对更广泛的集合赋予“大小”，解决了Riemann积分无法处理的问题，如不连续函数的积分。 2. Lebesgue积分：基于Lebesgue测度，Lebesgue积分提供了一种更为严密的积分方法，能够处理几乎处处不连续的函数。与Riemann积分相比，Lebesgue积分具有更大的适用性和更强的性质。 3. 贝尔曼函数与Carathéodory条件：这些是确保函数可积性的重要工具，通过这些条件可以确定哪些函数可以被Lebesgue积分。 4. Lp空间：这些是函数空间，其中函数的p次幂的积分有界。Lp空间的概念在泛函分析和应用数学中至关重要。 5. 勒贝格控制收敛定理和Fatou引理：这些是Lebesgue积分的重要性质，涉及到序列或级数的收敛性问题。 6. 定义和性质：包括连续函数、一致连续函数、有界变差函数、单调函数等，以及它们之间的关系和转换。 7. 全连续函数和Baire类别定理：这些理论揭示了函数类别的深层次结构，对于理解拓扑和分析中的许多问题有重要意义。 8. 度量空间和完备性：引入度量空间的概念，讨论完备度量空间的性质，这对于理解泛函分析中的Banach空间和Hilbert空间至关重要。 9. 泛函分析基础：虽然《实变函数论与泛函分析（上册）》可能主要关注实变函数，但可能会涉及泛函分析的基本概念，如线性泛函、范数和内积。 曹广福教授的课件将通过实例、图形和练习题帮助学生深入理解和掌握这些概念，从而为更高级的数学研究打下坚实基础。通过学习实变函数论，学生不仅可以提升分析思维能力，还能为将来研究偏微分方程、概率论、统计学等领域的高级课程做好准备。