本文的核心主题是探讨在小表面张力条件下，如何通过应用保形变换方法来分析和模拟非奇性Saffman-Taylor指在短时间内的演化过程。Saffman-Taylor问题最初由Saffman和Taylor在1958年提出，源于石油开采中为了更有效地采集残油而进行的研究。他们利用Hele-Shaw盒模型，研究了在多孔介质中水驱动油的流动现象，并得出了Saffman-Taylor解析解，该解析解描述了被小粘性流体驱动的粘性流动界面。这一模型对于研究非平衡耗散系统的界面图形的形成和演化具有重要意义，进而也对控制扩散生长过程的研究（如树型生长、有向结晶、化学电解等）提供了理论基础。
为了研究单指演化、多指竞争以及稳定性问题，学者们发展出了多种数值分析方法，包括面涡法、边界积分法、保形变换法和拓扑结构法等。然而，由于所涉及的方程高度非线性，解析解的求解通常十分困难。Saffman-Taylor解析解虽然是奇性的，不适合作为数值求解的初始条件，但赵凯华基于此解析解找到了一个非奇性的理论解，为数值研究粘性指进提供了理想的初始条件。
本文的研究以非奇性的Saffman-Taylor解析解为基础，通过保形变换方法，对Hele-Shaw盒中的二维流动进行数值模拟，并考虑到了表面张力的影响。具体来说，研究者构造了在Hele-Shaw盒中的流动模型，其中两块无限长的平行平板之间的宽度远小于平板的长度，流动速度在无穷远处保持恒定。通过引入复变量z和复势函数φ=伊+i'P"，其中伊和'P"分别代表速度势和流函数，研究者对流场进行了保形变换，使得界面在复平面上对应圆周。
在不考虑表面张力的情况下，流体界面处的速度势为零。Saffman-Taylor解析解的界面方程为z=20一灿时(~+1))-lnz=20-À)，其中λ为指的半宽，界面曲率可以通过此方程求得。但是，此解析解在'P"=士π处存在对数奇点，导致其在数值求解时存在困难。为此，通过引入一个小参量E，对解析解进行了微小修正，从而使得半无限长指变为了有限指，即修正了Saffman-Taylor解析解中的奇异性。
作者使用了保形变换方法，将流动场变换到复平面上，然后利用数值求解法来模拟在小表面张力下，非奇性Saffman-Taylor指在初始时刻的演化过程。在对演化方程进行线性化处理后，利用常微分方程设计算法，仅解决了短时间内的演化问题。
研究中使用了特定的符号和数学概念，如复变量、保形变换、复势函数、速度势、流函数、泊松定理以及对流体界面的演化方程的建立。通过数值模拟，研究者能够观察到指形界面在经过小时间演化后如何发生形态上的改变，尤其是在小表面张力的影响下。
本文的研究在理解流体界面的演化，尤其是在低表面张力条件下，以及对于数值模拟方法的优化上，都具有重要的理论和实际意义。此外，对于非平衡耗散系统的界面演化这一广泛的科研领域，本文所使用的方法和技术同样具有参考价值。通过深入分析非奇性Saffman-Taylor指的演化，本文不仅推动了相关理论的发展，而且为粘性指进问题的数值模拟提供了新的方法和工具。
