Greiner算子是在非交换几何和微分几何领域中的一种重要工具，它在研究Heisenberg群的几何性质以及相关偏微分方程中发挥着关键作用。本文中的主要成果是关于Greiner算子在R2n+1空间上的Poincaré不等式和Hardy-Sobolev不等式的推导和证明。
Greiner算子是由Hans Greiner首次提出，用以研究Heisenberg群上具有齐次性质的次椭圆算子。在本文中，Greiner算子表达式为1. = ∑(Xj + Yj) = Vk • V，其中Xj和Yj是特定的向量场，V是水平梯度。当n=1时，Greiner算子退化为Heisenberg群上的次Laplace算子。在此基础上，文中对Greiner算子在R2n+1空间上的函数表示公式进行了研究。
Poincaré不等式是泛函分析中的一个重要概念，它与函数空间的范数密切相关。在泛函分析和偏微分方程的研究中，Poincaré不等式描述了函数范数与其在某个区域内平均值的差异。在此研究中，作者建立了R2n+1上的Poincaré不等式，该不等式对函数空间中的函数给出了其范数与函数在特定区域的平均值之间的估计关系。这种方法在数学物理和工程问题中有着广泛的应用，如在研究波动方程、热方程等偏微分方程时，Poincaré不等式可以用来得到解的估计和控制。
Hardy不等式与Poincaré不等式紧密相关，它研究函数与其在无穷远处的值之间的关系。Hardy-Sobolev不等式则是在Sobolev空间中，将Hardy不等式和Sobolev不等式结合，给出了函数在Sobolev空间范数与其在无穷远处行为之间的关系。本文利用已有的结果，扩展了Hardy-Sobolev不等式，使其适用于全空间R2n+1。
该文提到的Sobolev不等式是分析学中描述函数在Sobolev空间中的行为的一个重要工具。Sobolev空间是指具有某些“光滑”性质的函数构成的抽象空间，这种空间的定义依赖于特定的函数范数，而Sobolev不等式则描述了这些范数之间的关系。Sobolev空间在现代偏微分方程理论中扮演着核心角色，它允许将偏微分方程转化为关于Sobolev空间中元素的问题，并进一步研究这些元素的存在性和性质。
在研究中，本文作者通过推广文献中的Sobolev不等式，得到了在R2n+1上的Poincaré不等式和Hardy-Sobolev不等式。这些不等式的结果不仅包含了先前文献中的相关结果，而且还去除了对函数在无穷远处行为的某些限制，使其更具有普遍性。
文章中所提到的定理1和定理2是该研究的主要结论。定理1建立在全空间R2n+1上的Poincaré不等式，定理2则是相应的Hardy-Sobolev不等式的建立。这些不等式为分析R2n+1上的函数提供了重要的数学工具，具有很强的理论价值和实际应用潜力。
这篇文章在数学的分析学和几何学领域有着深刻的理论意义和广泛的应用前景，它不仅为研究Heisenberg群和其他相关的非交换几何空间提供了新的数学工具，也为偏微分方程的理论研究和实际应用提供了新的思路和方法。
