### 圈和扇的联图的全染色
#### 概述
本文研究了圈（记为 \(C_m\)）和扇形图（记为 \(F_n\)）的联图 \(C_m \vee F_n\) 的全染色问题。全染色是指将图的所有顶点和边染上颜色，使得相邻的两个顶点或相接的两条边有不同的颜色，同时也要求连接同一顶点的两条边有不同的颜色。全染色数 \(\chi_T(G)\) 是指完成这种染色所需的最少颜色数。
#### 相关定义
- **边染色**：对于图 \(G=(V,E)\)，若存在一个映射 \(f: E \to \{1,2,\ldots,k\}\)，使得任意相邻的边 \(e, e'\) 有 \(f(e) \neq f(e')\)，则称 \(f\) 为 \(G\) 的一个 \(k-\) 正常边染色法，简称 \(k-\) PEC of \(G\)。
- **全染色**：对于图 \(G=(V,E)\)，若存在一个映射 \(f: V \cup E \to \{1,2,\ldots,k\}\)，满足以下条件：
- 对于任意的 \(u, v \in V\) 和 \(uv \in E\)，如果 \(u \neq v\)，则 \(f(u) \neq f(v)\)；
- 对于任意的 \(uv, uw \in E\) 且 \(v \neq w\)，有 \(f(uv) \neq f(uw)\)；
- 对于任意的 \(u, v \in V\) 和 \(e \in E\) 且 \(u \neq v\)，有 \(f(u) \neq f(e)\)，\(f(v) \neq f(e)\)。
则称 \(f\) 为 \(G\) 的一个 \(k-\) 全染色法，简称 \(k-\) TC of \(G\)。而 \(\chi_T(G) = \min\{k | k-\text{TC of } G\}\) 称为 \(G\) 的全色数。
- **联图**：设图 \(G\) 与 \(H\) 满足 \(V(G) \cap V(H) = \emptyset\)；\(E(G) \cap E(H) = \emptyset\)。若 \(G \vee H\) 满足 \(V(G \vee H) = V(G) \cup V(H)\) 和 \(E(G \vee H) = E(G) \cup E(H) \cup \{uv | u \in V(G), v \in V(H)\}\)，则称 \(G \vee H\) 为 \(G\) 与 \(H\) 的联图。
#### 主要结论及其证明
针对 \(m > n \geq 2\) 的情形，考虑 \(C_m \vee F_2\) 的全色数。
1. **Case 1: 当 \(m = 3\) 时**，此时 \(C_3 \vee F_2 = K_4\)，由引理 1 可知结论成立。
2. **Case 2: 当 \(m = 4\) 时**，可以观察到 \(\Delta(C_4 \vee F_2) = 6\)，因此 \(\chi_T(C_4 \vee F_2) \leq 7\)。由于 \(C_4 \vee F_2\) 是 \(K_7\) 的子图，根据引理 1 和引理 2 可知 \(\chi_T(C_4 \vee F_2) \leq \chi_T(K_7) = 7\)。由此得到 \(\chi_T(C_4 \vee F_2) = 7\)，故结论成立。
3. **Case 3: 当 \(m \geq 5\) 时**，设定匹配集 \(M = \{v_0u_2, v_1u_2\}\)，并定义图 \(G^*\) 如下：
- \(V(G^*) = V(C_m \vee F_2) \cup \{\omega\}\)；
- \(E(G^*) = E(C_m \vee F_2) \setminus M \cup \{\omega v_0, \omega v_1, \omega v_2\}\)。
图 \(G^*\) 的最大度为 \(m + 2\)。根据引理 3 可知 \(\chi'(G^*) = m + 2\)。令 \(f^*\) 为 \(G^*\) 的一个 \((m + 2)-\) PEC 法，在此基础上对 \(C_m \vee F_2\) 进行映射 \(\beta\)，使得 \(\beta(\omega) = f^*(\omega)\)。
通过以上分析，本文给出了不同条件下 \(C_m \vee F_n\) 的全色数的具体值，为图的全染色问题提供了新的实例和方法。这些结论不仅有助于深入理解图的染色理论，也为相关领域的进一步研究奠定了基础。
