强不可约分解在相似下惟一的一类算子 (2000年)

在2000年发表的这篇文章中，纪友清和杨轶华探讨了算子理论中的一个重要概念——强不可约分解，并证明了在一定条件下，加权移位算子的有限个直和的强不可约分解在相似变换下是唯一的。文章中的关键知识点涉及算子代数、谱理论、加权移位算子、强不可约性以及相似变换等。 文章定义了复可分的Hilbert空间上的有界线性算子代数，并介绍了谱理论中的基本概念，如算子的谱（σ(T)）和本性谱（σ_e(T)），以及算子的不变子空间格（Lat(T)）。此外，引入了Banach可约性和强不可约性的定义，并通过定义解释了强不可约算子和Banach不可约算子之间的关系。 加权移位算子是文章中的核心研究对象，文章描述了前向单边和后向单边加权移位算子，以及内射加权移位算子的定义。加权移位算子可以被理解为在希尔伯特空间中沿着某个固定的基（通常是正规正交基）进行的加权递推操作。文章进一步定义了算子的幂有界性以及谱族的概念，并在这些概念的基础上给出了强不可约分解的定义。 强不可约分解涉及到算子可以被分解为若干个强不可约算子的直和，这些算子构成了算子的一个谱族。文章还讨论了强不可约分解的存在性问题，并提出了强不可约分解在相似变换下的唯一性问题。 相似变换是研究算子不变性质的一种工具，如果存在一个可逆算子X，使得一个谱族在X的作用下变为另一个谱族，那么这两个谱族在相似变换下是等价的。文章在定义了相似变换的基础上，提出了解决强不可约分解的唯一性问题的条件，并证明了在一定条件下加权移位算子的直和具有这种唯一性。 文章还讨论了Jordan标准型定理在有限维空间上线性算子中的类比，以及纯等距算子的强不可约性。纯等距算子是指不存在非平凡不变子空间的等距算子，其强不可约分解在相似变换下是唯一的。 文章提出了一个简单引理，涉及到经典的Hardy空间H^2(fØ)和H^∞(fØ)，这两个空间在复分析和算子理论中有着重要的地位。简而言之，这篇文章通过深入探讨算子代数中的强不可约算子，为研究算子的谱性质提供了新的视角和工具，并揭示了加权移位算子在直和分解下的强不可约性质。