A class of combinatorial identities associated with iterated fun...

本文研究了与迭代函数系统（Iterated Function Systems，IFS）相关的一类组合恒等式问题。迭代函数系统是分形理论和动力系统中的一个重要概念，它由一系列的收缩仿射映射组成，这些映射的集合可以产生复杂的几何结构。文章的作者是李汉巨和叶远灵，他们证明了在给定实线上的仿射迭代函数系统和一个概率向量的情况下，存在一个与二项式系数和关于迭代函数系统的不变测度µ相关的组合恒等式。 文章首先提出，已知有多种方法可以证明已知的组合恒等式，例如Snake Oil方法和WZ方法。然而，本篇文章并未依赖于这些组合方法来证明组合恒等性。文章的研究动机来自于著名的Hausdorff矩问题。Hausdorff矩问题涉及在何种条件下可以确定一个测度µ在实数R上，以便存在一个数列{Mn}，使得它成为关于µ的一个矩序列。在数列是关于µ的矩序列的情况下，组合恒等式展示了矩序列与二项式系数之间的关系。 文章接着提出了主要定理Theorem 1.1。假设给定实线上的仿射迭代函数系统{τi}Ni=1，它由以下形式定义：τi(x)=λix+bi，其中0<λi<1，bi为实数，i=1,2,...,N。设p=(p1, p1,..., pN)为一个概率向量（即每个pi>0，且p1+p2+...+pN=1），且存在一个具有紧支撑的有限测度µ满足自相似方程µ=∑piµ◦τ−1i，对于R上的任何波莱尔子集B成立。这里，自相似方程表示不变测度µ满足这样一个性质：在经过仿射变换后的测度与原测度成比例。 文章进一步指出，令Mn是关于测度µ的矩序列，则可以得出以下与二项式系数相关的组合恒等式：Mn可以通过某种组合方式选择的排列数来表达。这种组合方式指的是从n个不同结果中挑选j个结果的无序排列数。文章通过此定理证明了给定仿射迭代函数系统和概率向量后，可以确定一个与二项式系数和不变测度相关的组合恒等式。 文章中的关键词包括组合恒等式（combinatorial identities）、迭代函数系统（iterated function systems）、二项式系数（binomial coefficient）、不变测度（invariant measure）和Lebesgue测度（Lebesgue measure）。数学主题分类包括组合数学（05A19）、测度论（28C10）和抽象测度理论（28A80）。 文章介绍了著名的Hausdorff矩问题，并指出其重要性在于确定何时可以在实数R上确定测度µ，使得给定的数列成为关于该测度的矩序列。组合恒等式在本文中的意义在于它建立了矩序列与二项式系数之间的关系。对于Lebesgue测度的特殊情况，可以得到一些已知的或者未知的组合恒等式。这些恒等式的证明不依赖于传统的组合方法，而是基于迭代函数系统的理论。 文章为组合恒等式的证明提供了一种新的方法，即通过迭代函数系统的不变测度来探索二项式系数与矩序列之间的关系。这种方法可能有助于解决数学分析和动力系统中的其他未解问题。此外，文章可能为理解复杂几何结构的内在组合特性提供了新的视角，这对于分形几何的研究具有潜在的重要意义。 文章的数学表达和证明细节可能包含复杂的逻辑结构和抽象概念，需要读者具备数学分析、测度论和动力系统的扎实背景知识。研究者的贡献不仅在于提出了新的证明方法，也在于揭示了不同数学领域之间潜在的联系。对于专业的数学研究者来说，这些发现可能会带来新的研究方向和思考方式。