磁 寣
收稿日期 ：２００７ － １１ － ０２
基金项目 ：国家自然科学基金资助项目（１０６７１１３２） ．
作者简介 ： ／杨大地 （１９４７ — ） ，男 ，重庆万州人 ，副教授 ，主要从事数值计算理论及应用 、智能算法 ，以及控制理论与
应用等方面的研究 ．
一 个 绝 对 稳 定 区 域 较 大 的 ３ 阶 隐 式 线 性
３ 步 法 公 式
磁
杨大地 ，刘晓岑
（重庆大学 数理学院 ，重庆 ４０００４４）
摘要 ：推导了一个 ３ 阶隐式线性 ３ 步法公式 ，它的绝对稳定区间达到（ － ６７ ．０７３ ，０） ，可用于常微分
方程初值问题的求解 ，且具有较好的稳定性 ．验证了公式的相容性和收敛性 ，并描绘出稳定区
域 ，最后用数值试验证明了此公式对轻度或中度刚性问题的有效性 ．
关 键 词 ：刚性方程 ；线性多步法 ；绝对稳定性 ；绝对稳定区域
中图分类号 ：Ｏ２４１ ．８１ 文献标识码 ：Ａ 文章编号 ：１６７１ － ０９２４（２００８）０１ － ００５５ － ０４
Ａ ３＿ｏｒｄｅｒ Ｉｍｐｌｉｃｉｔ Ｌｉｎｅａｒ ３＿ｓｔｅｐ Ｆｏｒｍｕｌａ ｏｆ ａ Ｌａｒｇｅ
Ａｂｓｏｌｕｔｅｌｙ Ｓｔａｂｌｅ Ｒｅｇｉｏｎ
ＹＡＮＧ Ｄａ＿ｄｉ ，ＬＩＵ Ｘｉａｏ＿ｃｅｎ
（Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｐｈｙｓｉｃｓ ，Ｃｈｏｎｇｑｉｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ，Ｃｈｏｎｇｑｉｎｇ ４０００４４ ，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ ：Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｄｅｄｕｃｅｓ ａ ３＿ｏｒｄｅｒ ｉｍｐｌｉｃｉｔ ｌｉｎｅａｒ ３＿ｓｔｅｐ ｆｏｒｍｕｌａ ｏｆ ａｂｓｏｌｕｔｅｌｙ ｓｔａｂｌｅ ｉｎｔｅｒｖａｌ ｃｏｕｌｄ
ｒｅａｃｈ （＿６７ ．０７３ ，０） ，ｗｈｉｃｈ ｃａｎ ｂｅ ｕｓｅｄ ｔｏ ｓｏｌｖｅ ｏｒｉｇｉｎａｌ ｖａｌｕｅ ｑｕｅｓｔｉｏｎ ｏｆ ｏｒｄｉｎａｒｙ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ
ａｎｄ ｈａｓ ｂｅｔｔｅｒ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ．Ｉｔｓ ｃｏｎｓｉｓｔｅｎｃｙ ａｎｄ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｉｓ ｔｈｅｎ ｐｒｏｖｅｄ ａｎｄ ｔｈｅ ａｂｓｏｌｕｔｅｌｙ ｓｔａｂｌｅ ｒｅｇｉｏｎ ｉｓ
ｄｒａｗｎ ．Ｆｉｎａｌｌｙ ，ｉｔｓ ｖａｌｉｄｉｔｙ ｆｏｒ ｓｏｍｅ ｑｕｅｓｔｉｏｎｓ ｏｆ ｓｔｉｆｆ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｉｓ ｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｅｄ ｗｉｔｈ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔ ．
Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ ：ｓｔｉｆｆ ｅｑｕａｔｉｏｎ ；ｌｉｎｅａｒ ｍｕｌｔｉ＿ｓｔｅｐ ｍｅｔｈｏｄ ；ａｂｓｏｌｕｔｅ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ；ａｂｓｏｌｕｔｅｌｙ ｓｔａｂｌｅ ｒｅｇｉｏｎ
１ 线性多步法概述
１ ．１ 线性多步法的一般形式
求解常微分方程初值问题的线性多步法可用
如下一般形式表示 ．
∑
ｋ
ｊ ＝ ０
α
ｊ
ｙ
ｉ ＋ ｊ
＝ ｈ ∑
ｋ
ｊ ＝ ０
β
ｊ
ｆ
ｉ ＋ ｊ
，ｉ ＝ ０ ，１ ，２ ，… ，ｎ － ｋ （１）
其中
α
ｊ
，
β
ｊ
均为实常数 ，且
α
ｋ
＝ １ ，
α
０
＋
β
０
≠
０ ．只要给出 ｋ ，确定对
α
ｊ
，
β
ｊ
的要求（例如令某些
参数为 ０） ，就可以通过求解线性方程组 ．
第 ２２ 墘卷 第 １ 期
Ｖｏｌ ．２２ Ｎｏ ．１
重 庆 工 学 院 学 报（自然科学）
Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｃｈｏｎｇｑｉｎｇ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ）
２００８ 拻年 １ 月
Ｊａｎ ．２００８
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