用于大规模数值计算的快速多极径向基函数方法

快速多极径向基函数方法是一种针对大规模数值计算问题而研发的先进算法。径向基函数（Radial Basis Function，RBF）方法因其形式简单和各向同性的特点，在数据插值和求解偏微分方程的数值解方面得到了广泛应用。RBF方法不依赖于空间的维数，因此在处理高维问题时具有明显优势。然而，传统的径向基函数方法在处理大规模问题时会产生稠密矩阵，导致计算量和存储空间需求巨大，这限制了其应用范围。 为了解决这一问题，快速多极算法（Fast Multipole Method，FMM）被提出来优化径向基函数方法。FMM算法最初由Rokhlin在1985年提出，最初用于求解势场问题。随后，Greengard将FMM方法应用于多域问题。将FMM与RBF结合后，通过一种树结构的存储方式，能够在保持计算精度不变的前提下，显著提高计算效率，并减少计算所需的存储空间。尤其是将计算量和存储量都降低至与N个源点数目的对数成正比（NO(logN)）。 在具体的算法实现方面，本文提到了径向基函数方法和广义极小残差迭代方法（GMRES）。径向基函数方法通过一组基函数的线性组合来近似未知函数。矩阵A是一个由基函数与离散点的函数值计算得到的稠密矩阵，向量b是以每个离散点处的函数值为元素。在大规模问题的求解中，直接法的计算量为3N^3次操作，存储量为2N^2次操作。而迭代方法，特别是GMRES，可以在保持精度的同时，将计算量降至N^2数量级。 通过将径向基函数方法与快速多极算法结合，可以实现对于大规模问题的快速计算。例如，研究了在一维Multi-Quadrics函数的快速计算方法。Multi-Quadrics函数是径向基函数的一种，其形式是通过一个参数来控制。利用Laurent级数展开，可以将径向基函数在大距离下的作用分离为系数形式，从而实现快速计算。Laurent级数是复分析中的一个概念，用于将复变函数在孤立奇点附近展开为幂级数。 文章还指出，通过这种方法，可以将截断误差控制在一定范围内，这为数值计算提供了理论保证。通过对截断误差的分析，可以确保在计算过程中误差可被控制在可接受范围内。 本文作者杨威来自河海大学工程力学系，并提供了联系方式。文章的发表标志着这一研究领域的重要进展，并为未来相关领域的工作奠定了基础。通过该算法的实现，即使是普通PC机也能够计算大规模问题，从而扩展了RBF方法的应用范围，并增强了大规模数值计算的能力。 以上内容涵盖了快速多极径向基函数方法的算法原理、程序实现、效率对比以及在实际应用中的优势。这种方法在大规模数值计算领域具有很大的发展潜力和实用价值。